Ошибка в книге или мой глюк

[mihiv]

thought в сообщении #595408 писал(а):

Тогда для любого фиксированного k, $2 \leq k \leq n,$ будет выполнено такое неравенство:

$$ \sum_{(i_1,...,i_k) \in \mathcal{A}_n^k} x_{i_1}...x_{i_k} \leq \prod_{i=1}^{k-1}\left(1 -\frac{i}{n} \right). $$

Левую часть этого неравенства можно записать как:

$$k!\sum x_{i_1}\cdots x_{i_k}$$

Где суммирование ведется по всем сочетаниям из $n$ элементов по $k$ (так что можно считать $i_1<\cdots <i_k$).Методом множителей Лагранжа находим,что наибольшее значение этой суммы достигается при $x_1=\cdots =x_k=\frac 1n$ и равно:

$$C^k_n\frac {k!}{n^k}=\prod _{i=1}^{k-1}\left (1-\frac in\right )$$

Таким образом исходное неравенство справедливо.

[thought]

Так и думал, что зря прицепился за исходное неравенство. Спасибо огромное, mihiv, красивое решение Для доказательства условного экстремума при $x_1=...=x_n= 1/n$ будет СЛАУ с n+1 неизвестными. Там легко закономерность ищется для поиска решения?

[mihiv]

Да вроде нет особых сложностей,например:

$$\frac {\partial F}{\partial x_1}-\frac {\partial F}{\partial x_2}=(x_2-x_1)(\cdots )=0$$

где выражение во вторых скобках положительно($F$-функция Лагранжа).Нужно только будет обосновать,что наибольшее значение не достигается на границе области.

[thought]

Вернее сказать, что значение в скобках неотрицательно. Если рассматривать односвязную область $0<x_i<1$, $i=1,...,n$, то все становится много легче.