Движение в центральном поле

[Alexandr007]

Victor Ananyev в сообщении #594183 писал(а):

Давайте рассмотрим действие „эффективной силы“:
$E=U(r)+\frac{M^2}{2mr^2}$

Лишнее я обрезал.

Victor Ananyev в сообщении #594183 писал(а):

Продифференциируем по r:

Получим:

$$F(r)=-\frac{dE(r)}{dr}=-\frac{dU}{dr}+\frac{M^2}{mr^3}$$

В общем случае $F\ne 0$. Только когда уравнение $E=const $ попадает на максимум или на "полочку", $F=0$ и тело может асимптотически приближаться к этому значению $r_m$.

[Himfizik]

Если я правильно понял вопрос, то Вас интересует время нахождения тела на расстоянии $r_0$. Почему бы в "лоб" не выразить $\frac{dt}{dr}$ из закона сохранения и в выражении для $t=\int...$ не подставить конкретный потенциальчик $U(r)$, проинтегрировав в интервале по $r$ от $r_0-\varepsilon$ до $r_0$? А потом с божьей помощью поустремлять эпсилоны к нулю... Так и узнаете, сколько частице суждено там просидеть...
Или Вы про другое спрашиваете?

[Утундрий]

Victor Ananyev в сообщении #594309 писал(а):

я плохо понимаю как склеить в одну функцию...

Как "склеить" $\[ y = + \sqrt x \] $ и $\[ y = - \sqrt x \] $? Проще всего - заметив, что это не два обособленных кусочка, а вполне себе целая $\[ x = y^2 \] $.

[Victor Ananyev]

EvilPhysicist Спасибо. С разными фазами я разобрался, тут вопросов особо нету.

Alexandr007 в сообщении #594335 писал(а):

В общем случае $F\ne 0$. Только когда уравнение $E=const $ попадает на максимум или на "полочку", $F=0$ и тело может асимптотически приближаться к этому значению $r_m$.

Можно по-подробнее, пожалуйста, про полочки и Е=const. Тоесть к точке на краю($r_{max}$) тело при любом потенциале будет приближаться бесконечно долго?

Утундрий А как то по-строже можно понять? Ну если представить что я вижу задачу первый раз в жизни и совсем не представляю что там должно быть в ответе? Тогда ведь ваш способ будет очень похож на угадывание.

[Утундрий]

Victor Ananyev в сообщении #594415 писал(а):

А как то по-строже можно понять?

Разумеется. Нужно просто перейти к подходящим координатам, как в случае с параболой выше и провести все вычисления с нуля. Применительно к обсуждаемой теме, это будут полярные координаты: $\[r = \rho \left( {\theta \left( t \right)} \right)\]$. Проделайте все требуемые телодвижения, но уже в координатах, в коих (как подсказывает первый проход) "бяка с корнями" даже и не возникнет. Что-то от "угадывания" тут конечно же есть, но я предпочитаю именовать сие "последовательными приближениями".

[Alexandr007]

Victor Ananyev в сообщении #594415 писал(а):

тело при любом потенциале будет приближаться бесконечно долго?

Насколько я представляю, если максимум степени 2 или выше, то будет бесконечно долго, но это если точно подобрать энергию, иначе остановится не доходя либо проскочит дальше.

[Munin]

Victor Ananyev
Ещё один вариант изложения вопроса можете почитать в Б. В. Медведев "Начала теоретической физики". Там чуть более общее рассмотрение, чем у Ландау.