Движение в центральном поле

[Victor Ananyev]

Вот читаю Ландау «Механика». Дошел до движения в центральном поле. В тексте пишут что когда „эффективная“ потенциальная энергия будет равна Е (полной энергии), то радиальная скорость занулится, потом поменяет знак (пусть движение финитное, и мы двигаемся от нижней границы до верхней), значит мы как бы развернемся и полетим назад. Вопрос заключается в том, почему бы нам не остаться на орбите? Ведь угловая скорость не 0, а радиальная 0. Помогите разобраться, пожалуйста.

[EvilPhysicist]

Чего-то не понял в чём вопрос.

Victor Ananiev в сообщении #594137 писал(а):

В тексте пишут что когда „эффективная“ потенциальная энергия будет равна Е (полной энергии), то радиальная скорость занулится, потом поменяет знак (пусть движение финитное, и мы двигаемся от нижней границы до верхней), значит мы как бы развернемся и полетим назад.

Ну не совсем назад, мы будем лететь так, что наше расстояние до центра масс системы будет уменьшаться.

Victor Ananiev в сообщении #594137 писал(а):

Вопрос заключается в том, почему бы нам не остаться на орбите?

А мы с неё никуда и не денемся. В том смысле, что через некоторое время мы снова окажемся в этой же точке, снова остановим своё удаление от центра масс и снова начнём с ним сближаться.
Орбита-то у нас эллиптическая.

[Victor Ananyev]

Спасибо за оперативный ответ. Давайте для еще большей конкретизации, у нас просто частица в центральном поле. Наверное расстояние тогда будет уменьшаться не до центра масс, а до центра нашего поля? (ведь это не гравитационное взаимодействие, потенциал достаточно свободно можно выбирать. Главное что бы зависел только от r. Соответственно и орбита не обязательно эллиптическая)

Воот.. И как я размышлял. Радиальная скорость — положительная. При чем, существует расстояние на котором она 0. То есть мы монотонно приближаемся к точке остановки(всмысле радиальной). При чем когда мы попали на 0 скорости, по словам ландау, что то заставляет нас поменять знак перед скоростью и лететь назад, но судя по уравнениям, ничто не мешает нам выйти на орбиту и летать по кругу... откуда два случая с разными знаками скорости я понимаю. Ведь законе сохранения $v^2$ . Почему нужно перейти к другому случаю именно в момент остановки, я понимаю плохо.

upd. Назад в смысле в другую сторону, конечно я не имел ввиду ту же траекторию.

[Alexandr007]

Victor Ananiev в сообщении #594156 писал(а):

При чем когда мы попали на 0 скорости, по словам ландау, что то заставляет нас поменять знак перед скоростью и лететь назад,

Значит действует "эффективная сила" которая сначала остановила тело, а потом разогнала его в обратную сторону.

[Victor Ananyev]

Давайте рассмотрим действие „эффективной силы“:
$E=U(r)+\frac{M^2}{2mr^2}=U(r)+\frac{mr^2\omega^2}{2}$
Продифференциируем по r:
$F=-\frac{dU}{dr}=mw^2r$
Соответственно в точке остановки сила будет как раз такая, что бы удерживать тело на орбите, при вращении с угловой скоростью w.

[Удалено] Написал глупости

[EvilPhysicist]

Victor Ananyev в сообщении #594156 писал(а):

Давайте для еще большей конкретизации, у нас просто частица в центральном поле. Наверное расстояние тогда будет уменьшаться не до центра масс, а до центра нашего поля?

Ну это довольно-таки скользкий вопрос, потому что у центрального поля есть источник и если мы хотим до конца непротиворечиво описывать систему, то должны будем сказать, что у нас есть точечное тело очень большой массы, по этому считаем, что центр масс не движется относительно этого тела.

Но если на это забить, то да.

Victor Ananyev в сообщении #594156 писал(а):

Главное что бы зависел только от r. Соответственно и орбита не обязательно эллиптическая

Да, орбита может быть не эллиптическая.

Victor Ananyev в сообщении #594156 писал(а):

При чем когда мы попали на 0 скорости, по словам ландау, что то заставляет нас поменять знак перед скоростью и лететь назад

Это что-то - поле.
И в учебнике Ландау и Лифшица нету ни одного слова Ландай и ни одной мысли Лифшица.

Victor Ananyev в сообщении #594156 писал(а):

Ведь законе сохранения $v^2$

Нет, у нас сохраняется энергия $\cfrac{m}{2} v^2 + U =E $
Если, например $E$ нуль, то стоит нам выйти из области, где $U$ отрицательна, как мы должны будем повернуть(ну вообще-то даже раньше должны повернуть)

[Утундрий]

Victor Ananyev
Попробуйте применить свои рассуждения к графику, скажем, синуса. Вот он растет сначала быстро, потом все медленнее, пока совершенно не упостояннится, и вдруг (внезапно) начинает падать! А почему бы ему не остаться и далее равным единице?

Ответы на этот вопрос и на вопрос данной темы - одинаковы.

[Victor Ananyev]

EvilPhysicist Да. Все верно. Но ведь мы не выходим из области, а дошли до границы, когда скорость 0. Я тут подумал, и если не ошибся, то угловая скорость не обязательно должна быть такой(на краю), что бы компенсировать потенциал(в том смысле, что $m\omega^2r_{max}=-\frac{dU}{dr}|r=r_{max}$ выполняется не всегда)? если так, то можно понять, что долетая до края мы падаем назад. Но тогда, как это понять из уравнений движения, по ним ведь скорость 0(я смотрю на уравнение $\dot r = f(r)$ и так понимаю, что оно должно полностью описывать изменение r.)?
Утундрий Хорошая аналогия, но если я правильно понял, то вы имеете ввиду построение графика синуса зная косинус везде. В моем же вопросе фигурирует аж две разные функции скорости(как бы косинуса) и не понятно почему нужно в 0(если придерживаться аналогии, то pi/2) одну подменить на другую?

[EvilPhysicist]

Victor Ananyev в сообщении #594240 писал(а):

Но ведь мы не выходим из области, а дошли до границы, когда скорость 0

Да, выход из области означал бы нарушение законов сохранения.

Victor Ananyev в сообщении #594240 писал(а):

Я тут подумал, и если не ошибся, то угловая скорость не обязательно должна быть такой(на краю), что бы компенсировать потенциал

Угловая скорость постоянна.

Victor Ananyev в сообщении #594240 писал(а):

Но тогда, как это понять из уравнений движения, по ним ведь скорость 0(я смотрю на уравнение $\dot r = f(r)$ и так понимаю, что оно должно полностью описывать изменение r.)?

Что-то не понял, про что вы, но угловая скорость очень может быть не нулём. И да, решение $\dot r = f(r)$ опишет изменение $r$, хотя я не очень понимаю, почему вы там написали $f(r)$, а не $f(t)$.

[Victor Ananyev]

Почему это угловая скорость постоянна? Она зависит от расстояния.

Я наверное плохо выразился, угловая скорость не ноль, ноль радиальной скорости имелся в виду.
$\dot r = f(r)$ это уравнение на r которое мы получим подставив в закон сохранения энергии для нашей системы $E=\frac {m{\dot r}^2}{2} + \frac {mr^2{\omega}^2}{2} + U(r)$ угловую скорость из $M=mr^2\omega$ тогда выразив $\dot r$ получим уравнение $\dot r = f(r)$ Неонозначность появляется в момент выражения скорости из закона сохранения. Когда берем корень, появляются + и - о которых собственно идет речь.

[EvilPhysicist]

Victor Ananyev в сообщении #594248 писал(а):

Почему это угловая скорость постоянна?

Потому что $\cfrac{\partial L}{\partial \phi}=0 $.

Victor Ananyev в сообщении #594248 писал(а):

Неонозначность появляется в момент выражения скорости из закона сохранения. Когда берем корень, появляются + и - о которых собственно идет речь.

Это не неоднозначность. По сути выбор знака просто изменит начальную фазу у решения. Грубо говоря, вы получите либо решение $\sin t$, либо $\cos(t+\cfrac{\pi}{2}) $.

[Victor Ananyev]

Ну так.. $\frac {\partial L} {\partial \phi} = \frac {d \frac {\partial L} {\dot \phi}} {dt} = 0$ Значит $\frac {\partial L} {\dot \phi} = const = M$ => $\dot \phi = \frac {M} {mr^2}$ значит зависит от расстояния.

Про неоднозначность. Да. Если мы умеем потом определять в какой момент поменять знак, то это только проблема фазы.. но я как раз и спрашиваю, как определить момент.

Извините, я уже начинаю чувствовать, что не понимаю чего-то совсем очевидного. Но я честно стараюсь.

[Утундрий]

Victor Ananyev в сообщении #594240 писал(а):

построение графика синуса зная косинус везде

График синуса прекрасно строится и без косинуса.

Victor Ananyev в сообщении #594240 писал(а):

моем же вопросе фигурирует аж две разные функции скорости(как бы косинуса) и не понятно почему нужно в 0(если придерживаться аналогии, то pi/2) одну подменить на другую?

Вообще-то, это одна функция.

[Victor Ananyev]

Извините, тогда не понял вашей аналогии. Тут как раз и проблема в построении графика зная производную, которая не совсем одна функция. Или, повторюсь, я плохо понимаю как склеить в одну функцию +sqrt(f(r)) и -sqrt(f(r))

[EvilPhysicist]

Victor Ananyev в сообщении #594268 писал(а):

Значит $\frac {\partial L} {\dot \phi} = const = M$ => $\dot \phi = \frac {M} {mr^2}$ значит зависит от расстояния.

Да, вы правы. Сохраняется момент.

Victor Ananyev в сообщении #594309 писал(а):

Извините, тогда не понял вашей аналогии

Аналогия в том, что синус - решение уравнения $ \cfrac{d^2 x}{dt^2} + x =0 $ с начальным условием $ x(0)=0 $, а косинус - решение того же дифура с условием $x(0)=1 $.

Аналогично для уравнения $ E=\cfrac{m}{2} \dot r^2 + U(r) + \cfrac{M}{2mr^2} $, вы получите одну и ту же кривую, только описанную по разному.