ОТО - единая геометризующая теория поля

[Someone]

pc20b писал(а):

Т.е информации достаточно. Источником непонимания у Вас служило представление, что

Цитата:

гравитационное поле содержит информацию только о тензоре энергии-импульса.

Это не так. Тензор энергии-импульса есть лишь "источник" консервативного тензора Эйнштейна, согласно уравнениям ОТО.

То есть, Ч.Мизнер и Дж.Уилер заблуждаются?

Точные решения уравнений Эйнштейна. Под редакцией Э.Шмутцера. Москва, "Энергоиздат", 1982.

Глава 5, пункт 5.4. Условия Райнича.

Цитата:

Таким образом, геометрия Райнича определяет ассоциированное с ней электромагнитное поле $F_{ab}$ единственным образом с точностью до постоянного дуального поворота.
Задача определения изотропного электромагнитного поля из геометрии полностью не решена [Jordan, Kundt (1961); Ludwig (1970)].

Здесь то же самое: электромагнитное поле из геометрии определяется с точностью до некоего дуального поворота, то есть, не однозначно.

[Котофеич]

pc20b писал(а):

*** Большая просьба. Больше так не надо.
Котофеич
Наверно, ударившись, Кот малость "не врубился" : ведь об этом и шла речь : если бы поле (кривизна) было посильней, он бы почувствовал, что летит не по геодезической, а, будучи упитанным котом, по конгруенции геодезических, и тогда бы его малость поразрывали силы геодезического отклонения - т.н. "приливные". По ним можно было бы, если Кот специалист, восстановить и кривизну пространства падения ...

Без всяких если. Даже точка не движется по геодезической. Не нужно постоянно повторять то чего Вы сами никогда не проверяли. А приливные силы существуют и без
всяких кривизн, я чего то никогда и нигде кроме плоского пространства не встречал. Вы начитались книжек по геометрии, вот вам и приснилось.

[Munin]

Меня дальнейшая дискуссия не интересует. Уровень докладчика явно не тот, чтобы понимать предмет разговора... или хотя бы понимать, какие уравнения какие величины связывают, и что из них можно достать, а что нельзя.

Someone
Продолжите без меня?

[pc20b]

AlexDem

Цитата:

Цитата:

pc20b писал(а):
Эйнштейну с самого начала было не по душе квантование гравитации - он хотел получить кванты из свойств пространства-времени. Интуиция его не подвела.

А как получить кванты из свойств пространства-времени? Если интуиция не подвела, значит как-то получили?

Да, первые результаты есть : непрерывное нелинейное гравитационное поле порождает дискретность пространства-времени. В двух смыслах. Во-первых, наличие топологических зарядов (в исследованном случае - электрических) приводит к формированию горловин - экстремальных гиперповерхностей с нетривиальной топологией, так что пространство в целом приобретает топологию всюду разрывного ("дырявого") множества мощности континуума и меры нуль (типа множества Кантора). Этот результат опубликован : ЖЭТФ 128, 2, 2005, с.300; JETP 101, 2, 2005, p.259.

Во-вторых, в пространствах, порождаемых веществом и электромагнитным полем (и порождающих их), в несопутствующих системах отсчета пространство-время становится дискретным : оно разбивается на ряд периодических причинно не связанных областей, в которых, в силу инвариантности и неотрицательности квадрата интервала и инвариантности сигнатуры, временная и одна из пространственных координат меняются местами. Это - т.н. R - и Т- области Новикова (Сообщения ГАИШ, № 132, 1964), которые в таких полях становятся замкнутыми и периодическими, а пространство-время в целом становится "ячеистым".

Всем известным вырожденным случаем такой геометрии является пустое плоское пространство Минковского : только световой конус в нем должен интерпретироваться не как поверхность, разделяющая события с времени- и пространственноподобными интервалами (досветовыми и сверхсветовыми), а поверхность, разделяющая две несвязанные области, в которых квадрат интервала положителен (т.е. сверхсветовых движений нет), а временная и пространственная координаты трансформировались друг в друга. Этот результат опубликован пока в кратком изложении (Науч. сессия МИФИ-2003, сб. тр., т.5, М., 2003, с.177; сб.тр., т.11, М., 2005, с. 128-138).

[pc20b]

Someone
Давайте разберемся с Вашими возражениями по поводу геометризации электромагнитного поля. Вы высказали сомнение в возможности такого отображения на том основании, что электромагнитное поле представлено в уравнениях Эйнштейна лишь тензором энергии-импульса, который содержит не всю информацию об электромагнитном поле. На что получили ответ, что это не так, т.к. в процедуре геометризации участвует не только тензор энергии-импульса, но и уравнения "физического" поля, в данном случае - уравнения Максвелла. И такого описания достаточно, чтобы получить взаимно однозначное отображение.

На это Вы возразили, что это отображение может быть неоднозначно, сославшись на статью Мизнера и Уилера (Ч.Мизнер, Дж.Уилер. Классическая физика как геометрия. Гравитация, электромагнетизм, неквантованные заряд и масса как свойства искривлённого пустого пространства. В сборнике "Альберт Эйнштейн и теория гравитации". "Мир", Москва, 1979, стр. 542 - 554), где как раз и доказана возможность точной геометризации электромагнитного поля, но лишь для случая "свободного" поля (без зарядов) в пустоте, причем, связь тензора электромагнитного поля с бесследовым в данном случае тензором Риччи содержит произвольный параметр - угол альфа (формула (6)).

На этом основании Вы хотели бы сделать заключение, что наше утверждение о возможности такого взаимно однозначного отображения "физики" на "геометрию" неправильно.

Вот с этим и давайте аккуратно разберемся. Прежде всего в сути Вашего утверждения. Вопрос к Вам : что означает наличие этого свободного параметра и почему Вы считаете, что из-за него отображение электромагнитного поля на геометрию неоднозначно?

[Someone]

Вы не понимаете, что различные электромагнитные поля могут создавать одинаковые гравитационные поля? Суть ведь к этому сводится. Я же Вам объясняю со ссылками на литературу: по гравитационному полю нельзя однозначно восстановить электромагнитное поле. Наличие произвольного параметра именно это и означает.
Дуальный поворот преобразует поля $\vec E=E_x\vec\imath+E_y\vec\jmath+E_z\vec k$ и $\vec H=H_x\vec\imath+H_y\vec\jmath+H_z\vec k$ в поля $\vec E(\alpha)=\vec E\cos\alpha-\vec H\sin\alpa$ и $\vec H(\alpha)=\vec E\sin\alpha+\vec H\cos\alpa$. Если поля $\vec E$ и $\vec H$ удовлетворяют уравнениям Максвелла в вакууме, то поля $\vec E(\alpha)$ и $\vec H(\alpha)$ тоже удовлетворяют уравнениям Максвелла в вакууме; тензоры энергии-импульса для обоих полей одинаковые. Гравитационные поля они создают одинаковые. А физически эти поля различны. Поэтому никак Вы не восстановите $\vec E$ и $\vec H$ по гравитационному полю.

[pc20b]

Someone
Что означает инвариантность уравнений "свободного" электромагнитного поля в вакууме и уравнений гравитации по отношению к дуальным поворотам?

[Someone]

pc20b писал(а):

Someone
Что означает инвариантность уравнений "свободного" электромагнитного поля в вакууме и уравнений гравитации по отношению к дуальным поворотам?

Меня не интересует, что это означает. Меня интересует, как Вы будете однозначно восстанавливать электромагнитное поле по гравитационному в условиях, когда много различных электромагнитных полей порождают одно и то же гравитационное поле.

[pc20b]

Someone
А Вам не кажется интересным, что появление "источника" электромагнитного поля снимает это вырождение?

[Someone]

pc20b писал(а):

А Вам не кажется интересным, что появление "источника" электромагнитного поля снимает это вырождение?

Но это с Вашей стороны капитуляция. Потому что Вы хотели восстанавливать электромагнитное поле не по его источникам, а исключительно по его гравитационным проявлениям.

Далее. Ваше первоначальное утверждение было сформулировано в полной общности, и не предполагалось, что у электромагнитного поля вообще есть источники. У нас как раз такой случай: нетривиальная топология пространства и электромагнитное поле, "запутавшееся" в этой топологии. Никаких зарядов нет.

[pc20b]

Someone
Никакой капитуляции. Русские не сдаются. Просто мы медленно плывем вперед. Почему Вы считаете поле, у которого бивектор и дуальный ему бивектор бездивергенциальны, электромагнитным?

Добавлено спустя 12 минут 2 секунды:

Наконец, еще уже : что Вы называете электромагнитным полем?

[Someone]

pc20b писал(а):

Someone
Никакой капитуляции. Русские не сдаются. Просто мы медленно плывем вперед.

Желаю успеха. Я вообще не собирался обсуждать что-либо в этой теме, просто Ваше заявление меня сильно удивило.

Кстати, если Вы для восстановления электромагнитного поля хотите привлечь его источники, Вы не сможете обойтись локальной информацией о гравитационном поле. Вам придётся восстановить достаточно большую область пространства-времени, чтобы найти источники, участвовавшие в создании электромагнитного поля. Причём, их Вы по гравитационному полю не восстановите (в лучшем случае - с точностью до знака).

pc20b писал(а):

Почему Вы считаете поле, у которого бивектор и дуальный ему бивектор бездивергенциальны, электромагнитным?

А я где-нибудь писал о таком поле? Я всё время говорил об электромагнитном поле.

pc20b писал(а):

Наконец, еще уже : что Вы называете электромагнитным полем?

Ничего экзотического сказать об этом не могу. И это не имеет отношения к обсуждаемому вопросу.

[pc20b]

Someone
Вы правы.
Задача "физикаизации" геометрии обратна прямой задаче геометризации физики и в существующей постановке : уравнения Эйнштейна + уравнения физических полей (уравнения Максвелла) + условия, - в общем неоднозначна.

В общем случае она выглядит, скажем, так :
- Какой произвол допускают объекты, подвергающиеся данным преобразованиям, оставляющий неизменным результат этих преобразований?
- Какие сведения об объектах можно извлечь по результату их преобразований?

Но здесь речь идет о том, что иногда удается избежать произвола, казалось бы, очевидного до решения задачи.

Вот, в данном случае, обсуждалась ситуация со "свободным" электромагнитным полем F (2-формой), удовлетворяющим уравнениям

dF = 0, d*F = 0

(первая и вторая пары уравнений Максвелла, * - операция дуального сопряжения). Вами было отмечено, что множество "дуально повёрнутых" полей

(соs a + *sin a) F

при произвольном постоянном параметре a также удовлетворяет уравнениям Максвелла и, кроме того, оставляет неизменным тензор энергии-импульса электромагнитного поля, а поэтому и тензор кривизны. Следовательно, Вы сделали очевидный вывод о неоднозначности обратного отображения геометрии на физику.

На это последовало возражение, что вообще-то у каждого поля есть "источник", и он-то и устраняет данную неоднозначность. На что Вы возразили :

Цитата:

Ваше первоначальное утверждение было сформулировано в полной общности, и не предполагалось, что у электромагнитного поля вообще есть источники. У нас как раз такой случай: нетривиальная топология пространства и электромагнитное поле, "запутавшееся" в этой топологии. Никаких зарядов нет.

Как ни парадоксально, но это может быть не так - "заряды" есть. Они могут возникнуть при интегрировании нелинейных дифференциальных уравнений, в данном случае второго порядка, как первые интегралы - произвольные функции координат, задание которых конкретизирует геометрию. Один из этих интегралов - электрический заряд Q (r). В случае свободного электромагнитного поля в вакууме, или в нейтральном пылевидном веществе, этот интеграл является константой, Q = const.

Именно ему обязана отмеченная Вами "нетривиальная топология пространства" : этой константе геометрически соответствует горловина (horn) в пространстве-времени - неевклидовая гиперповерхность экстремальной кривизны. Именно она физически и порождает это "свободное" электромагнитное поле, либо, обратно, порождается им : в нелинейной ситуации "самодействия", характерной для гравитационных взаимодействий, это неразличимо.

В этом случае среди всех значений параметра операции дуального поворота а мы вынуждены выбрать один.

Очевидно, это Вы и имели в виду в вышевыложенном сообщении :

Цитата:

Кстати, если Вы для восстановления электромагнитного поля хотите привлечь его источники, Вы не сможете обойтись локальной информацией о гравитационном поле. Вам придётся восстановить достаточно большую область пространства-времени, чтобы найти источники, участвовавшие в создании электромагнитного поля.

[Someone]

pc20b писал(а):

Как ни парадоксально, но это может быть не так - "заряды" есть. Они могут возникнуть при интегрировании нелинейных дифференциальных уравнений, в данном случае второго порядка, как первые интегралы - произвольные функции координат, задание которых конкретизирует геометрию. Один из этих интегралов - электрический заряд Q (r). В случае свободного электромагнитного поля в вакууме, или в нейтральном пылевидном веществе, этот интеграл является константой, Q = const.

Вообще говоря, мне кажется, что Вы сильно ушли от первоначальной постановки задачи.

pc20b писал(а):

Именно ему обязана отмеченная Вами "нетривиальная топология пространства" : этой константе геометрически соответствует горловина (horn) в пространстве-времени - неевклидовая гиперповерхность экстремальной кривизны. Именно она физически и порождает это "свободное" электромагнитное поле, либо, обратно, порождается им : в нелинейной ситуации "самодействия", характерной для гравитационных взаимодействий, это неразличимо.

Да. Только у нас диаметр горловины - пара-тройка миллиардов световых лет. Но даже если она "планковская" - всё равно, "топологическая имитация" заряда - это не то же самое, что "реальный" заряд. В ОТО нет никаких причин, запрещающих топологическую имитацию магнитного заряда, даже если реальных магнитных зарядов нет.

pc20b писал(а):

В этом случае среди всех значений параметра операции дуального поворота а мы вынуждены выбрать один.

Даже в самом благоприятном для Вас случае - два.

pc20b писал(а):

Очевидно, это Вы и имели в виду в вышевыложенном сообщении :

Цитата:

Кстати, если Вы для восстановления электромагнитного поля хотите привлечь его источники, Вы не сможете обойтись локальной информацией о гравитационном поле. Вам придётся восстановить достаточно большую область пространства-времени, чтобы найти источники, участвовавшие в создании электромагнитного поля.

У меня есть большие сомнения в том, что, зная поле в локальной области, мы сможем восстановить всю вселенную, чтобы определить, где и какие имеются заряды, которые даже и при большой удаче по геометрии восстанавливаются с точностью до знака. И ещё раз: Вы очень далеко ушли от первоначальной постановки задачи. Восстанавливать электромагнитное поле по его гравитационным следам нужно локально. По крайней мере, первоначально задача выглядела именно так.

В общем, подумайте ещё. Я однозначно голосую за то, чтобы оставить физическим полям их самостоятельность, и не пытаться свести их все к гравитации в ОТО.

[pc20b]

Someone
В том-то всё и дело, что мало того, что по поведению функций в бесконечно малом восстанавливается их поведение в большом, топологический заряд - горловина (bottle-neck) - оказывается что ни на есть самым настоящим зарядом, не имитацией, отнюдь, а самая красота в том, что это малое (часть, элементарная частица, микромир) оказывается тождественным большому (целому, вселенной, макромиру).

Одно из проявлений нетривиальности топологии в том, что электрон и вселенная - это взгляд на одно и то же, только "снаружи" (электрон) и "изнутри" (вселенная). Это - результат уже не размышлений (как "кротовые норы" и "ручки" у Мизнера и Уилера в 57 г.), а точного решения уравнений ОТО :

1. Фундаментальный заряд e- это первый интеграл уравнений ОТО. Геометрически - статическая горловина в пространстве-времени с радиусом внутренней 2-гауссовой кривизны R, равным классическому :

$$ R_0= \frac {e^2} {m_0c^2} $$

2. Здесь $m_0$ - масса покоя элементарной частицы - тоже первый интеграл уравнений, имеющий смысл полной (гравитационной) энергии внутреннего мира частицы на горловине. Она получается маленькой, как и радиус горловины, именно вследствие большой кривизны внутреннего мира на горловине, чему физически соответствует большой гравитационный "дефект массы" - уменьшение полной энергии из-за сильного гравитационного поля (которое в постньютоновом смысле обладает как бы "отрицательной энергией").

3. Более того, эта горловина никогда не закрывается (статична в системе отсчета, в которой заряд покоится), а радиус гауссовой кривизны $R$ никогда и нигде - ни во внутреннем мире частицы, "заполненном" нейтральным веществом (пылью в рассматриваемом случае - идеальной жидкостью с нулевым давлением), ни во внешнем вакуумном мире ( мире Рейсснера - Нордстрема с устраненной сингулярностью $R = 0) не обращается в нуль : $R \neq 0$.

Это означает, что гравитационное поле, т.е. кривизна пространства-времени, устраняет главный недостаток всех моделей в плоском пространстве-времени Минковского - кулоновскую расходимость поля точечного заряда (в плоском пространстве все элементарные частицы, как в классическом, так и в квантовом представлении - точечные объекты).

4. Внутренний мир электрического заряда (элементарной частицы, но с оговоркой - без учета спина) - нестатический, периодический во времени, пульсирующий от состояния максимального сжатия до состояния максимального расширения, при котором его радиус $R$ и полная масса (энергия) $M$ достигают максимальных значений.

У внутренней вселенной в полузакрытом варианте две горловины (два электрических заряда противоположного знака), соединяющие её с двумя параллельными вакуумными пространствами. Т.е. она анизотропна и эту анизотропию можно наблюдать экспериментально.

5. Если иметь в виду множество частиц, то получается, что мир из горловин и антимир из антигорловин располагаются на двух параллельных гиперповерхностях, соединенных норами - частицами (вселенными). Этот результат решает проблему "барионной асимметрии" нашего мира и объясняет, где надо искать мир и антимир, и почему они не "аннигилируют" друг друга.

Для иллюстрации приведем примеры внешних и внутренних параметров, скажем, электрона и нашей вселенной.

При радиусе горловины $R = 2,82 \cdot 10^{-13}$ см и массе покоя $m_0 = 0,91 \cdot 10^{-27}$ г максимальный радиус внутреннего мира внутри электрона $R_{max} = 4,06 \cdot 10^8$ см (порядка радиуса Земли), а полная его масса в состоянии максимального расширения $M = 2,73 \cdot 10^{36} $ г (порядка тысячи масс солнца).

У нашей вселенной при её максимальном радиусе в состоянии максимального расширения $R_{max} = 0,83 \cdot 10^{28}$ см и полной массе $M = 0,56\cdot 10^{56} $ г радиус её горловины равен $R = 1,27 \cdot 10^{-3} $ см, а масса покоя на горловине всего лишь $m_0 = 2,02 \cdot 10^{-37}$ г.

Предельным объектом в этом ряду частиц является т.н. фидмон (максимон). Это единственный полностью статический однородный объект минимального радиуса, одинакового как для внутреннего, так и для внешнего мира, $R = 1,38 \cdot 10^{-34} $ см ( в $\sqrt {137}$ раз меньше планковской длины) и массы покоя, также одинаковой как извне, так и изнутри, $m_0 = 1,86 \cdot 10^{-6} $ г.

Т.о., ещё раз подчеркнем, это не "топологическая имитация", а точное описание геометрии и физики внутреннего и внешнего мира элементарной частицы, которое проясняет смысл всех фундаментальных констант и других величин.

Далее все "физические" параметры геометризируются - выражаются через кривизны пространства-времени. Поэтому могут быть найдены по чисто геометрическим измерениям, находясь в любой его точке.

Возможно, эти кратко изложенные результаты прояснят Ваши сомнения :

Цитата:

У меня есть большие сомнения в том, что, зная поле в локальной области, мы сможем восстановить всю вселенную, чтобы определить, где и какие имеются заряды, которые даже и при большой удаче по геометрии восстанавливаются с точностью до знака. И ещё раз: Вы очень далеко ушли от первоначальной постановки задачи. Восстанавливать электромагнитное поле по его гравитационным следам нужно локально. По крайней мере, первоначально задача выглядела именно так.

Вообще-то последнее не предполагалось. Наоборот, используя свойство аналитичности, картину отображения физика - геометрия можно увидеть целиком и попытаться понять именно на глобальном уровне.

И. уже имея это отображение, да, можно по чисто локальным измерениям найти, скажем, величину заряда и массы покоя частицы, создающей поле в данной точке, где бы она ни находилась. Как и саму величину электромагнитного поля в данной точке.