Анализ чисел n-й степени с помощью дифференциальных уравнени

[timots]

А кто-нибудь пребывал доказывать ВТФ с помощью дифференциального уравнения?
Пусть,$a\inR$ $b\inR $$c\inR$ являются действительными числами. Тогда формула Ферма является равенством, так как в области действительных чисел корень n-й степени можно извлечь из любого числа. Разложим выражение $a^n-c^n$ на множители. Мы получим:
$(a-c)(a^{n-1}+a^{n-2}c+…+c^{n-1})$
При , сократим на . В случаи , так как ряд действительных чисел непрерывный, то мы можем взять производную
$\lim\limits_{\triangle a\to0}\frac{a^n-(a+\triangle a)^n}{\triangle a}=na^{n-1}$
Так как старший член многочлена $a^{n-1}+a ^{n-2}c+…+c^{n-1}$ имеет (n -1)-ю степень, будем рассматривать его как функцию (n-1)-й степени. Сопоставим многочлен n-1-й степени с функцией, полученной при решении дифференциального уравнения $y^{|n-1|}=y$, а многочлены меньшей степени соответственно с производными от полученной функции:
$y=C_1e^{i_1x}+C_2e^{i_2x}+…+C_{n-1}e^{i_{n-1}x}=a^{n-1}+a^{n-2}c+…+c^{n-1}$
$y’=i_1C_1e^{i_1x}+i_2C_2e^{i_2x}+…+i_{n-1}C_{n-1}e^{i_{n-1}x}= a^{n-2}+a^{n-3}c+…+c^{n-2}$
$y’’=i_1^2C_1e^{i_1x}+i_2^2C_2e^{i_2x}+…+i_{n-1}^2xC_{n-1}e^{i_{n-1}x}=a^{n-3}+a^{n-4}c+…+c^{n-3}$ ……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………
$ y^{|n-2|}=i_1^{n-2}C_1e^{i_1x}+i_2^{n-2}C_2e^{i_2x}+…+i_{n-1}^{n-2}C_{n-1}e^{i_{n-1}x}=a+c $
При a=const c=const для x=0 мы получим систему уравнений однозначно решаемую относительно C.
Если предположим что
$(a^n-c^n)=(a-c)(a^{n-1}+a^{n-2}c+…+c^{n-1})=b_1^nb_2^n$
Тогда мы имеем дело с функцией
$y^{|n(n-1)|}=y$
При $a\inZ$ $c\inZ$ мы получем таблицу из пересекающих последовательностей
$a(+\infty-\infty)$ c=const $(+\infty-\infty)$c a=const
Построим таблицу для третей степени
a-c=0 a-c=1 a-c=2 a-c=3 a-c=4 a-c=5 a-c=6
3 7 13 21 31 43 57
12 19 28 39 52 67 84
27 37 49 63 79 97 117
48 61 76 93 112 133 156
75 91 109 129 151 175 201
108 127 148 171 196 223 252
147 169 193 219 247 277 309
192 217 244 273 304 337 372
243 271 301 333 367 403 441
300 331 364 399 436 475 516
363 397 433 471 511 553 597
432 469 508 549 592 637 684
507 547 589 633 679 727 777
588 633 676 723 772 823 876

Конечная разность в любом направлении будет равна нулю:
$12-3* 19+3*28-39=0$

[ananova]

timots в сообщении #347207 писал(а):

А кто-нибудь пребывал доказывать ВТФ с помощью дифференциального уравнения?

Вроде да. Вот тут: http://dxdy.ru/topic24989.html

Может удастся объединить усилия.

[timots]

Не вижу ничего общего. И не присоединяюсь не до кого. И не только из-за того что не верю в коллективный разум. Я просто сейчас не интересуюсь данной темой. Работе, которую я предоставил около 30 лет. Увидел на форуме раздел посвященный теореме Ферма и решил поделиться своими исследованиями.
Для меня уже то, что многочлен $ a^{n-1}+a^{n-2}c+…+c^{n-1}$ можно представить как функцию от одной переменной $ y^{|n-1|}=y$ является решением теоремы Ферма. Ну а тем, кому этого недостаточно может воспользоваться этой функцией для своего доказательства.

[ananova]

timots
В чём-то, я с Вами солидарен. У меня только доказательство покороче - всего в три строчки, благодаря простому глобальному свойству для целых чисел на которое случайно наткнулся. Не совсем случайно, но это неважно.. Хотя 30 лет, пожалуй, я ждать не буду ;) Немного сам поищу ошибку. Если не найду, то выложу.

[age]

timots
Теорема Ферма справедлива лишь для натуральных чисел, а дифференциальное исчисление - для бесконечно малых вещественных величин. В натуральных числах равенство $y'=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ бессмысленно, т.к. $\Delta x\geq1$
Само понятие "дифференцирования" в натуральных числах теряет смысл.

[ananova]

Жаль, ...

ananova в сообщении #348217 писал(а):

Немного сам поищу ошибку. Если не найду, то выложу.

Ошибку, естественно, нашел у себя. Так что новостей нет ..

[serval]

age в сообщении #348732 писал(а):

Теорема Ферма справедлива лишь для натуральных чисел, а дифференциальное исчисление - для бесконечно малых

Но в ВТФ естественным образом появляются конечные разности любых порядков которые можно рассматривать как дискретный аналог производных.

[timots]

age
Спасибо за вопрос! Ждал подобной реакции!

Цитата:

Теорема Ферма справедлива лишь для натуральных чисел, а дифференциальное исчисление - для бесконечно малых вещественных величин. В натуральных числах равенство бессмысленно, т.к.

А Вы уверены, что речь идет не о дифференциальных уравнениях. Ведь я и ввел для этого дифференциальные уравнения, что бы избежать подобного несоответствия.
Откуда это? $\Delta x\geq1$

[age]

serval в сообщении #348811 писал(а):

Но в ВТФ естественным образом появляются конечные разности любых порядков которые можно рассматривать как дискретный аналог производных.

Нельзя, т.к. дискретный аналог производных возможен лишь на разностях, имеющих бесконечный порядок, т.е теряющих свойства счетного целого числа. Утверждать такое все равно, что $\infty+\infty=2\cdot\infty$.
Хотя известно, что $\infty+\infty=\infty$

timots в сообщении #348897 писал(а):

Откуда это? $\Delta x\geq1$

Это минимальное приращение аргумента на множестве натуральных чисел.

[serval]

age в сообщении #348945 писал(а):

Нельзя, т.к. дискретный аналог производных возможен лишь на разностях, имеющих бесконечный порядок

Для бесконечно больших степеней и потребуется бесконечный порядок. А в треугольнике Паскаля,

$\begin{array}{cccccc} &\multicolumn{1}{|c}{1}&2&3&4&5\\ \hline 1&\multicolumn{1}{|c}{1}&0&0&0&0\\ 2&\multicolumn{1}{|c}{1}&1&0&0&0\\ 3&\multicolumn{1}{|c}{1}&2&1&0&0\\ 4&\multicolumn{1}{|c}{1}&3&3&1&0\\ 5&\multicolumn{1}{|c}{1}&4&6&4&1 \end{array}$

через который эти разности выражаются, числа в $j$-том столбце являются значениями функций $f_j(i)$, где $i$ - номер строки. Вот первые 5 из них

$f_1=\frac{1}{0!}\ i^0$

$f_2=\frac{1}{1!}\ (\ -i^0+i^1\ )$

$f_3=\frac{1}{2!}\ (\ 2\ i^0-3\ i^1+i^2\ )$

$f_4=\frac{1}{3!}\ (\ -6\ i^0+11\ i^1-6\ i^2+i^3\ )$

$f_5=\frac{1}{4!}\ (\ 24\ i^0-50\ i^1+23\ i^2-10\ i^3+i^4\ )$

Но тут, как видите, уже нет требования на дискретность и можно использовать непрерывный аргумент.

[timots]

Не знаю, насколько я был близок к доказательству теореме Ферма, но меня захватила другая идея.
Идея применения дифференциального уравнения $ y^{(n)}=y$ к физике используя свойства этого уравнения. Мы знаем два свойства. Это цикличность корней характеристического уравнения и линейная независимость частных функций.
Этот метод хорош тем, что нет необходимости вводить сложные коэффициенты в дифференциальное уравнение, так как всегда можно составить однозначно решаемую систему уравнений.
Пусть нам дано n объектов или измерений. Корни характеристического уравнения цикличны, поэтому нет разницы, какой из этих объектов или измерений мы принимаем за базовый. Обозначим его через функцию $ y=C_1e^{i_1x}+C_2e^{i_2x}+\ldots +C_ne^{i_nx}$, остальные объекты и измерения мы можем принять за k производные от этой функции, где$ k=(1,2, \ldots, (n-1)) $. При$ x=\operatorname{const}$ мы получим систему из $ n$ уравнений с $ n$ неизвестными. Если у нас есть данные об объекте или об измерении то в качестве неизвестного мы можем взять $ C_k$, коэффициенты полученной функции.
Эту операцию можно производить не только с отдельными объектами или из их системами.
Пусть $ u_1, u_2, \ldots, u_n$ корни уравнения n-й степени тогда приняв свободный член этого уравнения за исходную функцию, остальные коэффициенты этого уравнения мы будем рассматривать как производные от этой функции.
Мы можем сделать вывод, что метод не зависит от свойств объектов или измерений, а зависит лишь от их количества.
Если будем рассматривать зависимость свободного члена уравнения n-й степени и корня из данного уравнения мы можем для их зависимости записать дифференциальное уравнение $ y''=y$. Различная интерпретация этого метода применяется при нахождении корней уравнения n-й степени.
Чтобы получить геометрическую зависимость этого метода рассмотрим еще одно дифференциальное уравнение $ y^{(n)}+y=0$ . Используя функцию и производные, полученные из этого уравнения, мы также можем получить, однозначную систему используя n объектов или измерений. Для двух объектов напишем дифференциальное уравнение $ y’’+y=0$. Или получим систему из двух уравнений:
$ \begin{cases} y’’-y=0,\\ y’’ +y=0 \end{cases}$
То есть для двух объектов мы получили показательную и тригонометрическую зависимость. Приняв дополнительные условия, мы можем получить геометрическую зависимость для объектов.
Для физике такими условиями мы можем взять физические постоянные. Такие как скорость света, гравитационная постоянная и постоянная Планка.
Мне нравится идея, предложенная В.Н. Дубровским в брошюре «Релятивистский мир» связать проекцию на единичную окружность с законом сложения скоростей:
$ \frac{1+w}{1-w}=\frac{(1+u)(1+v)}{(1-u)(1-v)}=\frac{(1+uv)+(u+v)}{(1+uv)-(u+v)}=\frac{1+\frac{u+v}{1+uv}}{1-\frac{u+v}{1+uv}}$
В ОТО геометризация массы происходит с использованием соотношения $ \frac{G}{c^2}$.
Корпускулярные и волновые свойства частиц связаны через постоянную Планка.
В физике довольно часто используют метод преобразования. Дифференциальные уравнения дают возможность обобщить эти методы.

[ishhan]

serval в сообщении #348811 писал(а):

Но в ВТФ естественным образом появляются конечные разности любых порядков которые можно рассматривать как дискретный аналог производных.

Формально записывается по определению из Алгебры Ван дер Вардена:

$$f(x+h)\equiv{f(x)+hf_1(x)}modh^2$$

Мы уже не в каменном веке, и не требуется условия непрерывности, что бы определить то, что называлось "препами начальной школы" производной

[serval]

(Оффтоп)

А как обойтись без производной в физике? К примеру, ввести определение скорости?

[timots]

serval

(Оффтоп)

Спросите об этом ахиллесову черепаху.

[timots]

Чтобы понять, что привело меня к использованью дифференциального уравнения, начнем сначала.
Мне нужна была функция, которая связывала между собой непрерывные и дискретные величины. Для этого подходила функция, полученная из дифференциального уравнения $y^{(n)}=y$. При $x=\operatorname{const}$ коэффициенты линейного уравнения n-й степени однозначно можно выразить через коэффициенты функции
$ C_1e^{i_1x}+C_2e^{i_2x}+\ldots+C_ne^{i_nx}$
Мне нужно было, чтобы множители и произведение чисел можно было выразить через одну и ту же функцию. В этом случаи подходила полученная функция. Произведение и множители отличались только коэффициентами. Мне нужно было ввести метод индукции для доказательства:
если $ a\in{F(x,n)} $ и $ a\in{F(x,(n-1))} $ то $ a\in{F(x,n(n-1))} $.
Это было достигнуто цикличностью корней характеристического уравнения.
То, что эти числа можно выразить через функцию, полученную из дифференциального уравнения $y^{(n)}+y=0$ дало возможность ввести тригонометрическую зависимость между числами.
Дифференциальные уравнения типа $ y^{(n)}+y=0$ часто используют для обобщения некоторых функций и формул. В работе А.В.Кужеля «Метод обобщения в математическом творчестве» применяется уравнение $ y’’’+y=0$ для обобщения формул сложения для тригонометрических функций и как обобщение функций определяющих экспоненту. Функция:
$ e^{-at}f(t)\cosbt-ie^{-at}f(t)\sinbt$ служит основой для операционного исчисления.
Для применения в физики этих свойств нужен масштаб и единицы измерения. Почему для этого не использовать физические постоянные.