2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 52  След.
 
 Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение15.09.2009, 06:43 


29/08/09
659
Здравствуйте, уважаемые форумчане! Представляю на Ваш суд свою попытку доказательства БТФ. Буду благодарна за критику.
Доказательство буду выкладывать по частям . Положения, помеченные *** требуют отдельных доказательств , они достаточно простые, поэтому я не стала их здесь приводить, чтобы не перегружать сильно сообщение. Если нужно, я их выложу. Прошу так же извинить меня за то, что не смогла там, где надо, показать системы уравнений, не получилось набрать.

Итак, Ферма утверждал, что уравнение $x^n+y^n=z^n$ не имеет целочисленных решений при $n>2$. Попробуем доказать обратное.


1.1. Предположим, что такое решение существует, при $x=a$, $y=b$, $z=c$, $n=m$, где $a$, $b$, $c$ - целые положительные взаимнопростые числа, $a\not=b$ , пусть $a>b$,$m$- целое число >2.
Тогда $a^m+b^m=c^m$.

1.2. $a+b=c=d$, где$d$ - целое положительное число.***
$a^2+b^2=c^2+p$, где $p$-целое положительное число.***
1.3. $a+b-c=d$, $a^2+b^2-c^2=p$ Перемножаем левые и правые части, получаем: $pa+pb-pc=a^2d+b^2d-c^d$, $a(ad-p)+b(bd-p)=c(cd-p)$, $ad-p>0$, $bd-p>0$, $cd-p>0$.***
1.4. $a(ad-p)+b(bd-p)=c(cd-p)$, $a^m+b^m=c^m$ (п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:$c^ma(ad-p)+c^mb(bd-p)=a^mc(cd-p)+b^mc(cd-p)$ , следовательно, $(cd-p)a^m-c^{m-1}da^2+c^{m-1}pa=-((cd-p)b^m-c^{m-1}db^2+c^{m-1}pa)$ .
Левая часть равенства представляет собой значение функции $y=(cd-p)x^m-c^{m-1}dx^2+c^{m-1}px$ при $x=a$, а правая - при $x=b$, взятое с противоположным знаком.
Равенство будет выполняться в двух случаях:
1.4.1.если значение функции при $x=a$ и$x=b$ равно 0.
или 1.4.2.если функция в точках $a$и$b$ принимает одинаковые значения разных знаков.
Рассмотрим каждый из случаев.
1.5.. Пусть $(cd-p)a^m-c^{m-1}da^2+c^{m-1}pa=0$, $(cd-p)b^m-c^{m-1}db^2+c^{m-1}pb=0$, тогда $a^{m-1}(cd-p)=c^{m-1}(ad-p)$,$b^{m-1}(cd-p)=c^{m-1}(bd-p) $, ($ad-p>o$, $bd-p>0$,$cd-p>o$ (п.1.3)), следовательно, $\frac{a^{m-1}}{ad-p}}=\frac{b^{m-1}}{bd-p}}=\frac{c^{m-1}}{cd-p}$
1.6. Исследуем функцию $y=\frac{x^{m-1}}{xd-p}}$ .
$y'=\frac{(m-1)x^{m-2}(xd-p)-dx^{m-1}}{(xd-p)^2}$,$xd-p\not=o$, $\frac{p}{d}$-точка разрыва.
Найдем точки экстремума:
$y'=0$ $(m-1)x^{m-2}(xd-p)-x^{m-1}d=0$. $x=0$ или$(m-1)(xd-p)-xd=0$, $(m-1)xd=(m-1)p$,
$x=\frac{(m-1)p}{(m-2)d}$
Так как на сегменте $]0;c]$ существует только одна точка экстремума, первый вариант(1.4.1) невозможен.
2.1. Рассмотрим второй возможный вариант.
Функция $y=(cd-p)x^m-c^{m-1}dx^2+c^{m-1}px $ в точках $a$ и $b$ принимает одинаковые значения разных знаков. Она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$.Следовательно, между точками $a$ и $b$ найдется такая точка ( назовем ее $h$), что значение функции в этой точке будет равно $0$.
$(cd-p)h^m-c^{m-1}dh^2+c^{m-1}ph=0 $ $c\not=0$ $h\not=0$, т.к.$b<h<a$. Следовательно,

2.2.$\frac{c^{m-1}}{cd-p}}=\frac{h^{m-1}}{hd-p}} $, $hd-p>0$, тк. $h>b$ Тогда
2.3. $c^{m-1}hd-c^{m-1}p=h^{m-1}cd-h^{m-1}p$,$cd(c^{m-2}h-h^{m-1})=p(c^{m-2}h-h^{m-1})$,$\frac{cd}{p}=\frac{c^{m-1}-h^{m-1}}{c^{m-2}h-h^{m-1}}$
Дале следует доказательство рациональности числа $h$, которое я выложу в следующем посте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение15.09.2009, 08:28 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
Пока всё правильно, за исключением нескольких опечаток.
Давайте продолжение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение15.09.2009, 08:38 
Заслуженный участник


10/08/09
599
Есть такой вид "доказательств" теоремы Ферма - "доказательства с продолжениями". Такое "доказательство" состоит из последовательности поочерёдно выкладываемых кусков, в каждом из которых содержится обещание вскоре выложить следующий. На каком-то этапе очередной кусок не выкладывается - автор или теряет интерес, или на что-то обижается.

Just making an observation.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение15.09.2009, 09:14 


16/08/05
1146
Можно сначала доказательство этого:
natalya_1 в сообщении #243535 писал(а):
$ad-p>0$, $bd-p>0$, $cd-p>0$.***

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение15.09.2009, 09:34 


29/08/09
659
dmd в сообщении #243552 писал(а):
Можно сначала доказательство этого:
natalya_1 в сообщении #243535 писал(а):
$ad-p>0$, $bd-p>0$, $cd-p>0$.***
да, пожалуйста.
$bd-p=b(a+b-c) -(a^2+b^2-c^2)=ba+b^2-cb-a^2-b^2+c^2=(c-a)(c+a)-b(c-a)=(c-a)(c+a-b)$
$c-a>0$, $c+a-b>0$ , следовательно, $bd-p>0$.
$a>b$,$c>b$, следовательно,$ad-p>0$,$cd-p>0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение15.09.2009, 22:50 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Умничка! (за попытку). Хотя не знаю, чем она закончится. :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение15.09.2009, 23:10 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
age в сообщении #243688 писал(а):
Умничка! (за попытку).
Мне тоже понравилось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение15.09.2009, 23:17 


29/08/09
659
Продолжаю.

3.1. $\frac{cd}{p}=\frac{c^{m-1}-h^{m-1}}{c^{m-2}h-h^{m-1}}=1+\frac{c^{m-1}-c^{m-2}h}{c^{m-2}h-h^{m-1}}$, отсюда
$\frac{cd-p}{p}}=\frac{c^{m-2}(c-h)}{c^{m-2}h-h^{m-1}}$, следовательно, $\frac{c^{m-2}h-h^{m-1}}{c-h}}$ - рациональное число. Отсюда следует, что при $m=3$ $h$-рациональное число

3.2.При $m>3$, $\frac{c^{m-2}h-h^{m-1}}{c-h}=c^{m-3}h+c^{m-4}h^2+...+h^{m-2}$ (рациональный многочлен), отсюда $h^{m-2}$-рациональное число.
3.3. $\frac{c^{m-2}h-h^{m-1}}{c-h}}$-рациональное число(п.3.1)
$h^{m-2}$-рациональное число (п.3.2), следовательно $\frac{c-h}{h}}$ -рациональное число,$\frac{c}{h}$-рациональное число, $h$-рациональное число


4.1. Пусть $\frac{c}{h}=\frac{q}{l}$, где$q$и$l$-целые положительные числа. Тогда
4.2.$\frac{c^{m-1}-h^{m-1}}{c^{m-2}h-h^{m-1}}=\frac{(c^{m-1}q^{m-1}-c^{m-1}l^{m-1})q^{m-1}}{q^{m-1}(c^{m-1}lq^{m-2}-c^{m-1}l^{m-1})}=\frac{q^{m-1}-l^{m-1}}{q^{m-2}l-l^{m-1}}$. Тогда
$\frac{cd}{p}=1+\frac{q^{m-2}(q-l)}{q^{m-2}l-l^{m-1}}$ ,следовательно
$\frac{cd-p}{p}=\frac{q^{m-2}(q-l)}{q^{m-2}l-l^{m-1}}$, $\frac{cd-p}{v}=q^{m-2}$, где $v$ - общий делитель $cd-p$и$p$.

Если в этой части доказательства не обнаружится ошибка, то я выложу последнюю часть доказательства, где доказываю невозможность разложения $\frac{cd-p}{v}$ на множители так, чтобы $\frac{cd-p}{v}$ представить в виде целого числа в нечетной степени. ( и еще один частный случай).

Для $n=3$ доказательство отдельное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение16.09.2009, 00:21 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
3.2. Непонятно, как вы получили, что $h^{m-2}$ - рациональное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение16.09.2009, 07:29 
Заслуженный участник


10/08/09
599
Уже в 3.1 непонятно, с чего $h$ должно быть рациональным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение16.09.2009, 07:42 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
Подставьте $m=3$, там многое сокращается.
А вот уже при $m=4$ получается квадратное уравнение, которое не обязано иметь рациональные корни.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение16.09.2009, 10:47 
Заслуженный участник


10/08/09
599
Подставил, получил квадратное уравнение относительно $h$: $\frac{h-h^2}{c-h}=u$, где $u$ - рациональное число. Решение - вообще говоря, квадратичная иррациональность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение16.09.2009, 14:46 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
migmit в сообщении #243757 писал(а):
Подставил, получил квадратное уравнение относительно $h$: $\frac{h-h^2}{c-h}=u$, где $u$ - рациональное число. Решение - вообще говоря, квадратичная иррациональность.
Плохо подставили. $c-h$ должно сократиться, причём при любых $m$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение16.09.2009, 15:22 
Заслуженный участник


10/08/09
599
Вы правы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение17.09.2009, 04:54 


29/08/09
659
venco в сообщении #243704 писал(а):
3.2. Непонятно, как вы получили, что $h^{m-2}$ - рациональное.


Я рассматривала уравнение $hx^{m-3}+h^{2}x^{m-4}+...+ (h^{m-2}- \frac {c^{m-2}p}{cd-p})}=0 $ c целым корнем $c$.
Исходила из того, что для того, чтобы у уравнения был целый корень, необходимо, чтобы свободный член и коэффициэнты были рациональными.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 770 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 52  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group