Помогите доказать делимость 5^n-3^n+2n на 4

[fiztech]

Доказать, что $5^{n}-3^{n}+2n$ делится на 4 . С помощью математической индукции доказал только, что делится на 2 .

[Someone]

Покажите своё доказательство. Тогда будет понятно, как Вам помочь.

[fiztech]

При $n=1$ имеем $5^{n}-3^{n}+2n=5-3+2=4$ , что делится на 4. Пусть при некотором $n=k$ верно, что $5^{n}-3^{n}+2n$ делится на $4$ т.е. $5^{k}-3^{k}+2k=4m$ при некотором целом $m$. Докажем , что и при следующем значении $n=k+1$ выражение $5^{n}-3^{n}+2n$ делится на 4. Имеем $5^{k+1}-3^{k+1}+2(k+1)=5^{k}5-3^{k}3+2n+2$. Теперь используя равенство $5^{k}-3^{k}+2k=4m$ , выразим оттуда $5^{k}$ и подставим в выражение $5^{k}5-3^{k}3+2n+2$. Получаем

$5^{k}=4m+3^{k}-2k$

$5^{k}5-3^{k}3+2k+2=(4m+3^{k}-2k)5-3^{k}3+2k+2=20m+3^{k}5-10k-3^{k}3+2k+2=20m+3^{k}2-8k+2= 2(10m+3^{k}-4k+1)$.

Значит исходное выражение делится на 2. Но нам надо доказать , что оно делится на 4.

[Профессор Снэйп]

$(4+1)^n - (4-1)^n + 2n$, распишите первые два слагаемых по биному Ньютона.

[TR63]

$10m+3^k-4k+1=(10m-4k)+(3^k+1)=2...$ . Попробуйте без индукции. Будет проще.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #595163 писал(а):

$(4+1)^n - (4-1)^n + 2n$, распишите первые два слагаемых по биному Ньютона.

Или, что немного компактнее в записи, рассмотреть остаток от деления на 4 при чётных и при нечётных эн.

[Shadow]

Решений конечно много, но ТС практически решил задачу по индукции. Осталось показать, что выражение в скобках тоже делится на 2.

[ewert]

Кстати, это:

fiztech в сообщении #595145 писал(а):

С помощью математической индукции доказал только, что делится на 2 .

-- довольно нелепо. Чётность всего выражения очевидна безо всякой индукции, т.к. там два нечётных слагаемых и одно чётное. Если же именно по индукции, то утверждение сводится к следующему: $5^m-3^m$ делится на 4 при чётных $m$ и не делится при нечётных. Тогда нетрудно подметить, что для $5^m+3^m$ дело обстоит вроде как наоборот. Ну эти две гипотезы одновременно доказываются по индукции уже напрашивающимся образом:

$$5^{m+1}-3^{m+1}=\frac12\big((5-3)(5^m+3^m)+(5+3)(5^m-3^m)\big)=(5^m+3^m)+4(5^m-3^m);$$

$$5^{m+1}+3^{m+1}=\frac12\big((5-3)(5^m-3^m)+(5+3)(5^m+3^m)\big)=(5^m-3^m)+4(5^m+3^m).$$

[Shadow]

Или индукционный шаг 2 снимает все вопросы:
$5^{k+2}-3^{k+2}+2(k+2)=25(5^k-3^k+2k)+16\cdot 3^k-48k+4$

[Someone]

fiztech в сообщении #595159 писал(а):

$\ldots= 2(10m+3^{k}-4k+1)$.

Значит исходное выражение делится на 2. Но нам надо доказать , что оно делится на 4.

Но ведь TR63 совершенно недвусмысленно намекает:

TR63 в сообщении #595170 писал(а):

$10m+3^k-4k+1=(10m-4k)+(3^k+1)=2...$

Осталось только сказать, что $3^k+1$ делится на...

[fiztech]

Спасибо всем, в особенности TR63 т.к. посчитал его метод наиболее легким.

$(10m-4k)+(3^{k}+1)$

$(10m-4k)$

При любых $m$ и $k$ делится на 2 . А

$(3^{k}+1)$

в свою очередь делится на 2 при любом $k$, что легко доказывается путем математической индукции.

Стыдно, что самостоятельно не заметил.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #595227 писал(а):

Ну эти две гипотезы одновременно доказываются по индукции...

Если уж индукция, так проверяем базу $n = 0,1$ и индукция с шагом $2$. А совместная индукция чересчур сложно выглядит.

[Someone]

fiztech в сообщении #595280 писал(а):

$(3^{k}+1)$

в свою очередь делится на 2 при любом $k$, что легко доказывается путем математической индукции.

А нельзя просто сказать, что сумма двух нечётных чисел - число чётное? Без ссылки на индукцию.

[TR63]

У меня была идея как у ewert. Только решение другое. При $ ;n=2k; a ^{2k}-b^{2k}=(a^k-b^k)(a^k+b^k)$. При $n=2k+1$ будет ли проще точно пока сказать не могу. Но идея есть.

[fiztech]

Someone

можно и так )))