Помогите доказать делимость 5^n-3^n+2n на 4

[Ktina]

fiztech в сообщении #595145 писал(а):

Доказать, что $5^{n}-3^{n}+2n$ делится на 4 . С помощью математической индукции доказал только, что делится на 2 .

$5^n$ всегда даёт остаток 1 при делении на 4.
$3^n$ даёт 1, если $n$ - чётно, и 3 в противном случае.
$2n$ даёт 0, если $n$ - чётно, и 2 в противном случае.

Таким образом, при чётном $n$ имеем 1-1+0=0, а при нечётном 1-3+2=0.

Вот и вся любовь. А индукцию приберегите для задач посложнее.

-- 15.07.2012, 00:07 --

Всё, что я написала, верно только для целых неотрицательных $n$.
В общем же случае, утверждение ложно. Например: $5^{-1}-3^{-1}+2\cdot (-1)$ не кратно четырём.

[fiztech]

Ktina

Еще легче) буду иметь ввиду.

[Sonic86]

Ktina в сообщении #595346 писал(а):

В общем же случае, утверждение ложно. Например: $5^{-1}-3^{-1}+2\cdot (-1)$ не кратно четырём.

Не должно так быть - это неестественно - числитель должен быть кратен $4$ - и он действительно кратен. Просто гомоморфизм $x\to x \pmod n$ определен шире - на отрицательных числах тоже, что какбе намекает нам, что есть более широкий гомоморфизм: не только $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_n$, но и $\mathbb{Q}_n\to\mathbb{Z}_n$, где $\mathbb{Q}_n$ - множество дробей по сложению и умножению, знаменатель, которых взаимно просто с $n$ - область целостности. Так что для всех целых $n$ $5^n-3^n+2n\equiv 0\pmod 4$.

[TR63]

Ktina, согласна: при натуральных n проще некуда; при целых- не думала.

[xmaister]

TR63, тоже самое получается, ведь в кольце $\mathbb{Z}_4$ $5^{-1}=1,3^{-1}=3$

[Батороев]

ewert в сообщении #595176 писал(а):

Или, что немного компактнее в записи, рассмотреть остаток от деления на 4 при чётных и при нечётных эн.

А что мешает сразу начать с этого?:

fiztech в сообщении #595145 писал(а):

Доказать, что $5^{n}-3^{n}+2n$ делится на 4 .

При четных $n$ разность $5^n-3^n$ кратна $4$.
При нечетных $n$ разность $5^n-3^n\equiv 2\pmod 4$.

-- 16 июл 2012 00:55 --

Ktina, пардон!
Когда читал посты, не дошел до Вашего.