Перестановочность симметричных матриц

[zrz]

Добрый день,
нашел в интернете (в нескольких источниках) фразу

"Произведение двух симметричных матриц симметрично тогда и только
если матрицы коммутируют, т.е. АВ = ВА" и тп.

И впал в ступор. Мне кажется произведение двух симметричных матриц всегда перестановочно.
А результат всегда симметричен. Разве не так?

[Maslov]

$$ \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}=? $$

[TOTAL]

zrz в сообщении #594652 писал(а):

Мне кажется произведение двух симметричных матриц всегда перестановочно.
А результат всегда симметричен. Разве не так?

Нет оснований не верить, что именно так Вам кажется.

[apriv]

Maslov в сообщении #594660 писал(а):

$$ \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}=? $$

Хочу заметить, что это произведение иногда все же симметрично.

[zrz]

Maslov в сообщении #594660 писал(а):

$$ \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}=? $$

Спасибо за пример, да меня действительно что-то проглючило.
Действительно изначальное утверждение ("Произведение двух симметричных матриц симметрично тогда и только
если матрицы коммутируют, т.е. АВ = ВА" и тп.) легко доказывается:
если $AB=G$ и $G=G^T$ , очевидно $ G=G^T=B^TA^T=BA=AB$


Помогите тогда разобраться со связанным вопросом,
допустим мы рассматриваем в действительном ЛП линейный оператор заданный симметричной матрицей (в ортонормированном базисе), т.е. самосопряженный. Он ортогональным преобразованием приводится к виду с диагональной матрицей (в базисе из нормированных собственных векторов). Как найти корень из оператора? Ну т.е. очевидно, что есть представление
$A=G^TDG где G матрица ортогонального преобразования базиса.
положим $B=D^\frac 1 2$ тогда очевидно $B=B^T$ и $A=G^TBB^TG следовательно
$A=(G^TB)(G^TB)^T т.е. получили представление вида $A=LL^T, что само по себе полезно, но вот можно ли утверждать, что $L$ будет равно $L^T$?
И если нет то как найти корень оператора в исходном базисе?

[ewert]

zrz в сообщении #594712 писал(а):

положим $B=D^\frac 1 2$ тогда очевидно $B=B^T$ и $A=G^TBB^TG$ следовательно
$A=(G^TB)(G^TB)^T$

Из чего ещё ничего не следует. Но вот если записать оператор как $A=G^TBGG^TB^TG$ -- дело уже другое (если, конечно, исходный оператор неотрицателен).

[zrz]

ewert в сообщении #594716 писал(а):

zrz в сообщении #594712 писал(а):

положим $B=D^\frac 1 2$ тогда очевидно $B=B^T$ и $A=G^TBB^TG$ следовательно
$A=(G^TB)(G^TB)^T$

Из чего ещё ничего не следует. Но вот если записать оператор как $A=G^TBGG^TB^TG$ -- дело уже другое (если, конечно, исходный оператор неотрицателен).

Точно, Спасибо!