Спасибо за пример, да меня действительно что-то проглючило.
Действительно изначальное утверждение ("Произведение двух симметричных матриц симметрично тогда и только
если матрицы коммутируют, т.е. АВ = ВА" и тп.) легко доказывается:
если

и

, очевидно
Помогите тогда разобраться со связанным вопросом,
допустим мы рассматриваем в действительном ЛП линейный оператор заданный симметричной матрицей (в ортонормированном базисе), т.е. самосопряженный. Он ортогональным преобразованием приводится к виду с диагональной матрицей (в базисе из нормированных собственных векторов). Как найти корень из оператора? Ну т.е. очевидно, что есть представление

где G матрица ортогонального преобразования базиса.
положим

тогда очевидно

и

следовательно

т.е. получили представление вида

, что само по себе полезно, но вот можно ли утверждать, что

будет равно

?
И если нет то как найти корень оператора в исходном базисе?