2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Перестановочность симметричных матриц
Сообщение12.07.2012, 10:50 
Добрый день,
нашел в интернете (в нескольких источниках) фразу

"Произведение двух симметричных матриц симметрично тогда и только
если матрицы коммутируют, т.е. АВ = ВА" и тп.

И впал в ступор. Мне кажется произведение двух симметричных матриц всегда перестановочно.
А результат всегда симметричен. Разве не так?

 
 
 
 Re: Перестановочность симметричных матриц
Сообщение12.07.2012, 11:16 
$$
\begin{pmatrix}
0 & 2 \\
2 &  0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 &  3
\end{pmatrix}=?
$$

 
 
 
 Re: Перестановочность симметричных матриц
Сообщение12.07.2012, 11:18 
Аватара пользователя
zrz в сообщении #594652 писал(а):
Мне кажется произведение двух симметричных матриц всегда перестановочно.
А результат всегда симметричен. Разве не так?

Нет оснований не верить, что именно так Вам кажется.

 
 
 
 Re: Перестановочность симметричных матриц
Сообщение12.07.2012, 12:23 
Maslov в сообщении #594660 писал(а):
$$
\begin{pmatrix}
0 & 2 \\
2 &  0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 &  3
\end{pmatrix}=?
$$

Хочу заметить, что это произведение иногда все же симметрично.

 
 
 
 Re: Перестановочность симметричных матриц
Сообщение12.07.2012, 15:26 
Maslov в сообщении #594660 писал(а):
$$
\begin{pmatrix}
0 & 2 \\
2 &  0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 &  3
\end{pmatrix}=?
$$


Спасибо за пример, да меня действительно что-то проглючило.
Действительно изначальное утверждение ("Произведение двух симметричных матриц симметрично тогда и только
если матрицы коммутируют, т.е. АВ = ВА" и тп.) легко доказывается:
если $AB=G$ и $G=G^T$ , очевидно $ G=G^T=B^TA^T=BA=AB$


Помогите тогда разобраться со связанным вопросом,
допустим мы рассматриваем в действительном ЛП линейный оператор заданный симметричной матрицей (в ортонормированном базисе), т.е. самосопряженный. Он ортогональным преобразованием приводится к виду с диагональной матрицей (в базисе из нормированных собственных векторов). Как найти корень из оператора? Ну т.е. очевидно, что есть представление
$A=G^TDG где G матрица ортогонального преобразования базиса.
положим $B=D^\frac 1 2$ тогда очевидно $B=B^T$ и $A=G^TBB^TG следовательно
$A=(G^TB)(G^TB)^T т.е. получили представление вида $A=LL^T, что само по себе полезно, но вот можно ли утверждать, что $L$ будет равно $L^T$?
И если нет то как найти корень оператора в исходном базисе?

 
 
 
 Re: Перестановочность симметричных матриц
Сообщение12.07.2012, 15:36 
zrz в сообщении #594712 писал(а):
положим $B=D^\frac 1 2$ тогда очевидно $B=B^T$ и $A=G^TBB^TG$ следовательно
$A=(G^TB)(G^TB)^T$

Из чего ещё ничего не следует. Но вот если записать оператор как $A=G^TBGG^TB^TG$ -- дело уже другое (если, конечно, исходный оператор неотрицателен).

 
 
 
 Re: Перестановочность симметричных матриц
Сообщение12.07.2012, 17:13 
ewert в сообщении #594716 писал(а):
zrz в сообщении #594712 писал(а):
положим $B=D^\frac 1 2$ тогда очевидно $B=B^T$ и $A=G^TBB^TG$ следовательно
$A=(G^TB)(G^TB)^T$

Из чего ещё ничего не следует. Но вот если записать оператор как $A=G^TBGG^TB^TG$ -- дело уже другое (если, конечно, исходный оператор неотрицателен).


Точно, Спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group