Если я не ошибаюсь, то при

пределов должно быть много.
Я так понимаю в данном примере
![$[a;\,b]=[\pi/4-1;\,\pi/4+1]$ $[a;\,b]=[\pi/4-1;\,\pi/4+1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/8/cd86522921b6093cbf4a1cbfced402d782.png)
. Но любая точка из этого отрезка является притягивающей точкой, т.к.

(кроме точки 0 конечно, но

, и мы снова получаем притягивающую точку), поэтому итерационная последовательность

имеет передел при любом начальном
![$a_0\in[a;\,b]$ $a_0\in[a;\,b]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/8/6a857eb700d9ee1846119134846ada5782.png)
, т.е. для всякой такой последовательность имеется конечное число предельных точек - ровно по одной у каждой.
Или я где-то ошибаюсь?
Тут может как-то воспользоваться теоремой Брауэра - при её использовании, получается, что

имеет неподвижную точку. Но если бы, это было еще и сжимающее отображение, то по теореме Банаха, все очевидно - любая такая последовательность сходится, и ответ на вопрос - "Верно".
А так в голову еще пример последовательности рациональных чисел из
![$[0;\,1]$ $[0;\,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/3/e33478f8ffb57352379b22c4327c1f4282.png)
приходит: такая последовательность ограничена и имеет бесконечно много предельных точек (любое число из отрезка
![$[0;\,1]$ $[0;\,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/3/e33478f8ffb57352379b22c4327c1f4282.png)
). Но вот как построить непрерывную функцию, удовлетворяющую условию, так чтобы при некотором

из итераций получилось множество рациональных чисел... (это для ответа "Не верно").
Либо если всё-таки верно, то если предположить обратное, что предельных точек бесконечно много, то значит существует бесконечно много подпоследовательностей в

каждая из которых имеет свой предел, отличный от остальных. А вот как дальше рассуждать, еще не придумал.