Предельные точки

[xmaister]

Пусть $f:[a,b]\to [a,b]$- непрерывная функция и $a_0\in [a,b]$. Верно ли что последовательность $a_{n+1}=f(a_n),n=0,1,2,\ldots$ содержит только конечное число предельных точек?

[vlad_light]

Если я не ошибаюсь, то при $f(x)=\frac \pi 4+\sin x$ пределов должно быть много.

[chessar]

vlad_light в сообщении #594556 писал(а):

Если я не ошибаюсь, то при $f(x)=\frac \pi 4+\sin x$ пределов должно быть много.

Я так понимаю в данном примере $[a;\,b]=[\pi/4-1;\,\pi/4+1]$. Но любая точка из этого отрезка является притягивающей точкой, т.к. $|f'(x)|=|\cos{x}|<1$ (кроме точки 0 конечно, но $f(0)\neq 0$, и мы снова получаем притягивающую точку), поэтому итерационная последовательность $a_{n+1}=f(a_n)$ имеет передел при любом начальном $a_0\in[a;\,b]$, т.е. для всякой такой последовательность имеется конечное число предельных точек - ровно по одной у каждой.
Или я где-то ошибаюсь?
Тут может как-то воспользоваться теоремой Брауэра - при её использовании, получается, что $f$ имеет неподвижную точку. Но если бы, это было еще и сжимающее отображение, то по теореме Банаха, все очевидно - любая такая последовательность сходится, и ответ на вопрос - "Верно".
А так в голову еще пример последовательности рациональных чисел из $[0;\,1]$ приходит: такая последовательность ограничена и имеет бесконечно много предельных точек (любое число из отрезка $[0;\,1]$). Но вот как построить непрерывную функцию, удовлетворяющую условию, так чтобы при некотором $a_0$ из итераций получилось множество рациональных чисел... (это для ответа "Не верно").
Либо если всё-таки верно, то если предположить обратное, что предельных точек бесконечно много, то значит существует бесконечно много подпоследовательностей в $a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots$ каждая из которых имеет свой предел, отличный от остальных. А вот как дальше рассуждать, еще не придумал.

[xmaister]

chessar, это всё понятно. Я ещё знаю, что, если множество $A=\{a_n|n=0,1,\ldots\}$, то $|A|<\aleph_0$... больше пока по нулям.

[AGu]

У так называемой логистической функции $f(x)=4x(1-x)$, $x\in[0,1]$, почти все точки генерируют всюду плотные орбиты.
Погуглите на предмет "4x(1-x) dense orbit". Такими вещами занимаются в теории хаоса.