lyuk, большое спасибо за на водку! Однако у меня осталось несколько вопросов:
Подпространство

хаусдорфового пространства

замкнуто т. и т. т. ...
Хаусдорфовость

нужна для того, чтобы каждая направленность имела не более одного предела? А можно пример пространства, где направленность имеет, например, 2 или более пределов? Просто Ваш кретерий замкнутости и без хаудорфовости

вроде бы верен .

. Если все предельные точки любой направленности лежат в

то очевидно, что для любой точки

существует направленность, сходящаяся к

. Пусть для некоторой направленности

из

существует её предельная точка

, не лежащая в

. Тогда существует более тонкая направленность

из

, сходящаяся к

, значит

, значит

- не замкнуто. И ещё не понятно, как доказывать замкнутость полного подпространства без первой аксиомы счетности?
Если

- ТВП+IAC,

- полное подпространство. Положим, что для некоторой последовательности существует подпоследовательность, сходящаяся к

.

.

- фундаментальна в

, значит фундаментальна в

значит, сходится к некоторому элементу

относительно топологии в

, значит сходится

относительно топологии в

, значит

. Противоречие.