Подпростраснтво ТВП

[xmaister]

Пусть $X$- ТВП. А $Y\subset X$- подпространство, топология которой поорждается полной инвариантной метрикой. Подскажите, как доказать, что $Y$- замкнуто. Я не понимаю, как использовать полноту $Y$.

[lyuk]

Используйте критерий замкнутости.

Подпространство $Y$ хаусдорфового пространства $X$ замкнуто т. и т. т., когда для любой сходящейся в $X$ направлености $(y_\alpha:\alpha\in A)$ елементов $y_\alpha\in Y$ предел этой направлености тоже содержится в $Y$.

При этом метризуемость $Y$ не имеет значения, а важна только его полнота.

[xmaister]

lyuk, большое спасибо за на водку! Однако у меня осталось несколько вопросов:

lyuk в сообщении #594002 писал(а):

Подпространство $Y$ хаусдорфового пространства $X$ замкнуто т. и т. т. ...

Хаусдорфовость $Y$ нужна для того, чтобы каждая направленность имела не более одного предела? А можно пример пространства, где направленность имеет, например, 2 или более пределов? Просто Ваш кретерий замкнутости и без хаудорфовости $Y$ вроде бы верен . $x\in\overline {Y}\Leftrightarrow \foral U_x\in\mathscr{B}(x)\ U_x\cap Y\ne\varnothing$. Если все предельные точки любой направленности лежат в $Y$ то очевидно, что для любой точки $x\in\overline{Y}$ существует направленность, сходящаяся к $x$. Пусть для некоторой направленности $S$ из $Y$ существует её предельная точка $x$, не лежащая в $Y$. Тогда существует более тонкая направленность $S'$ из $Y$, сходящаяся к $x$, значит $x\in\overline {Y}$, значит $Y$- не замкнуто. И ещё не понятно, как доказывать замкнутость полного подпространства без первой аксиомы счетности?
Если $X$- ТВП+IAC, $Y\subset X$- полное подпространство. Положим, что для некоторой последовательности существует подпоследовательность, сходящаяся к $y_0\not\in Y$. $\{y_{n_k}\}\to y_0$. $\{y_{n_k}\}$- фундаментальна в $X$, значит фундаментальна в $Y$ значит, сходится к некоторому элементу $x$ относительно топологии в $Y$, значит сходится $x$ относительно топологии в $X$, значит $x=y_0$. Противоречие.

[lyuk]

Если пространство $X$ не хаусдорфово, то в критерии замкнутости нужно писать "каждый предел направлености ...".

Пример же очень простой. В пространстве $X$, топология которого состоит из всего множества и пустого множества все направлености сходятся к каждой точке пространства.

[xmaister]

lyuk, спасибо! А что делать, если $Y$- не метризуемое, т.е. без первой аксиомы счетности? Я же не могу исключить направленности, у которых $|A|\ge\aleph_1$, а полнота говорит, что только фундаметальные последовательности сходятся.

[Oleg Zubelevich]

полнота говорит, что фундаментальные направленности сходятся.

из секвенциальной полноты не следует полнота

[xmaister]

Oleg Zubelevich в сообщении #594303 писал(а):

полнота говорит, что фундаментальные направленности сходятся.

Если так, то вроде ясно как для произвольных ТВП доказывать.

Oleg Zubelevich в сообщении #594303 писал(а):

из секвенциальной полноты не следует полнота

Что такое секвенциальная полнота?

[Oleg Zubelevich]

полнота в смысле последовательностей

[xmaister]

Oleg Zubelevich, понял, спасибо.