Вот, собственно,
условие:
Числа
![$a_1, a_2, a_3, ..., a_{21}$ $a_1, a_2, a_3, ..., a_{21}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/4/50430582f229ec65ce6724cc3f94f0d782.png)
образуют арифметическую прогрессию. Известно, что сумма членов этой прогрессии с нечетными номерами на
![$15$ $15$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/1/321d40fbe58f2e8c27e9964b658fbf6282.png)
больше суммы членов с четными номерами. Найдите
![$a_{12}$ $a_{12}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/b/d0bd985651089a4b862b25a0a738551f82.png)
, если известно
![$a_{20}=3a_9$ $a_{20}=3a_9$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/5/20593558c42e3aa7583f08134fc63cb282.png)
.
Решение:
Обозначим сумму четными индексами, как
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
, а сумму с нечетными как
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
, так как парсер не хочет русские буквы в индекс засовывать.
Воспользуемся фактом: если в арифметической прогрессии
четное количество членов, равное
![$2k$ $2k$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/7/f1738bbe3646e5962be59daa0aa34d5682.png)
, то
![$A=B + k \cdot d$ $A=B + k \cdot d$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/b/43bd7fe3b043292e4492d5e0eb25635082.png)
. У нас есть лишний
![$a_{21}$ $a_{21}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/4/324b52b236f73901c3844d0cf1e6b3d782.png)
, поэтому составил такие равенства:
*примечание:
![$B=a_1+a_3+...+a_19$ $B=a_1+a_3+...+a_19$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/5/2a577f7078c9e237b66fcf9e7a1f902782.png)
.
![$B+a_{21}=A+15$ $B+a_{21}=A+15$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/3/2a3b27ae093fcf41b2e326418b67d36f82.png)
- из условия задачи.
![$B+10 \cdot d = A$ $B+10 \cdot d = A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/f/96f71e0c916718692d7f4af1197ffe2682.png)
- из факта.
Откуда
![$a_{21}=15+10d$ $a_{21}=15+10d$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/3/f13402276d7cc055c8115fe871966a0582.png)
.
![$a_1=15-10d$ $a_1=15-10d$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/e/1fefb57be7229e79a15d05dc0e421baf82.png)
.
![$a_{20}=3\cdota_9$ $a_{20}=3\cdota_9$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/e/dce361af2b9fd92e46a2cdfb0b478b0482.png)
.
![$a_1+19d=3a_1+8d$ $a_1+19d=3a_1+8d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/f/e6f84f655fef6971680e50bf386e222482.png)
Сделал замену
![$a_1=15-10d$ $a_1=15-10d$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/e/1fefb57be7229e79a15d05dc0e421baf82.png)
:
![$31d=30$ $31d=30$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/8/8580071925fa56607a55af6c6574c16882.png)
, откуда
![$d=30/31$ $d=30/31$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/1/2715f75acfcc6bb537c48b67bd79ba7182.png)
.
![$a_12=a_1+11d=15-10d+11d$ $a_12=a_1+11d=15-10d+11d$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/8/91833d567785faa10c5e9a3117dd231a82.png)
.
Ответ в книге:
![$a_{12}=17$ $a_{12}=17$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/b/d3b89b4fdc0a6e465c683f27f98769c982.png)
, здесь же дробь. В чем ошибка?
Здесь, наверное, есть какое-то просто решение, но я, увы, его не вижу. Третий час решаю прогрессии, так одна задача на другую налазит.