Арифметическая прогрессия

[Ubermensch]

Вот, собственно, условие:
Числа $a_1, a_2, a_3, ..., a_{21}$ образуют арифметическую прогрессию. Известно, что сумма членов этой прогрессии с нечетными номерами на $15$ больше суммы членов с четными номерами. Найдите $a_{12}$, если известно $a_{20}=3a_9$.
Решение:
Обозначим сумму четными индексами, как $A$, а сумму с нечетными как $B$, так как парсер не хочет русские буквы в индекс засовывать.
Воспользуемся фактом: если в арифметической прогрессии четное количество членов, равное $2k$, то $A=B + k \cdot d$. У нас есть лишний $a_{21}$, поэтому составил такие равенства:
*примечание: $B=a_1+a_3+...+a_19$.
$B+a_{21}=A+15$ - из условия задачи.
$B+10 \cdot d = A$ - из факта.
Откуда $a_{21}=15+10d$. $a_1=15-10d$.
$a_{20}=3\cdota_9$. $a_1+19d=3a_1+8d$
Сделал замену $a_1=15-10d$:
$31d=30$, откуда $d=30/31$. $a_12=a_1+11d=15-10d+11d$.
Ответ в книге:$a_{12}=17$, здесь же дробь. В чем ошибка?

Здесь, наверное, есть какое-то просто решение, но я, увы, его не вижу. Третий час решаю прогрессии, так одна задача на другую налазит.

[svv]

Давайте сначала решим просто, а потом я покажу, как ошибку найти.
Как Вы считаете, что больше: $a_1+a_{21}$ или $a_2+a_{20}$ ?

Ubermensch писал(а):

парсер не хочет русские буквы в индекс засовывать

Если очень нужно, то так: $S_\text{нечёт}=S_\text{чёт}+15$. Код: S_\text{нечёт}=S_\text{чёт}+15

[Ubermensch]

svv в сообщении #593458 писал(а):

Давайте сначала решим просто, а потом я покажу, как ошибку найти.
Как Вы считаете, что больше: $a_1+a_{21}$ или $a_2+a_{20}$ ?

Ubermensch писал(а):

парсер не хочет русские буквы в индекс засовывать

Если очень нужно, то так: $S_{\text{нечёт}}=S_{\text{чёт}}+15$. Код: S_{\text{нечёт}}=S_{\text{чёт}}+15

Одинаково по основному свойству прогрессии.

За код спасибо.

[svv]

Правильно.

У нас две чаши весов.
На левой чаше $a_1, a_3, a_5, a_7, a_9, a_{11}, a_{13}, a_{15}, a_{17}, a_{19}, a_{21}$.
На правой чаше $a_2, a_4, a_6, a_8, a_{10}, a_{12}, a_{14}, a_{16}, a_{18}, a_{20}$ и, для равновесия, гиря 15 кг, как сказано по условию.

Вы говорите, что если снять с левой чаши $a_1$ и $a_{21}$, а с правой $a_2$ и $a_{20}$, равновесие не нарушится. Снимаем — действительно, не нарушилось.

Что хочется сделать дальше?

[Ubermensch]

Значит $a_{11}=15$
Значит $a_1=15-10d$.
Блин, тогда $a_{12}=16$.

[svv]

Ubermensch в сообщении #593468 писал(а):

Значит $a_{11}=15$
Значит $a_1=15-10d$.

Правильно (только это). Аналогично,
$a_9=15-2d$
$a_{20}=15+9d$
Правильно?
Но $a_{20}=3 a_9$
Значит, ...

[Ubermensch]

Всё, вышло. Спасибо.

[svv]

Ошибку сами найдёте? Зная теперь все числа, подставляйте их последовательно во все утверждения из первоначального решения, пока не встретится первое утверждение, которое на этих известных числах не выполнится. Там и ошибка.

[Ubermensch]

Да, ошибка в вычислениях получилось.
Ну хоть идея решения правильная.
Эти задачи для подготовки к ЦТ(белорусский ЕГЭ), так я отключил олимпиадный подход к заданиям
Спасибо за помощь.