2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Арифметическая прогрессия
Сообщение08.07.2012, 15:05 
Аватара пользователя
Вот, собственно, условие:
Числа $a_1, a_2, a_3, ..., a_{21}$ образуют арифметическую прогрессию. Известно, что сумма членов этой прогрессии с нечетными номерами на $15$ больше суммы членов с четными номерами. Найдите $a_{12}$, если известно $a_{20}=3a_9$.
Решение:
Обозначим сумму четными индексами, как $A$, а сумму с нечетными как $B$, так как парсер не хочет русские буквы в индекс засовывать.
Воспользуемся фактом: если в арифметической прогрессии четное количество членов, равное $2k$, то $A=B + k \cdot d$. У нас есть лишний $a_{21}$, поэтому составил такие равенства:
*примечание: $B=a_1+a_3+...+a_19$.
$B+a_{21}=A+15$ - из условия задачи.
$B+10 \cdot d = A$ - из факта.
Откуда $a_{21}=15+10d$. $a_1=15-10d$.
$a_{20}=3\cdota_9$. $a_1+19d=3a_1+8d$
Сделал замену $a_1=15-10d$:
$31d=30$, откуда $d=30/31$. $a_12=a_1+11d=15-10d+11d$.
Ответ в книге:$a_{12}=17$, здесь же дробь. В чем ошибка?

Здесь, наверное, есть какое-то просто решение, но я, увы, его не вижу. Третий час решаю прогрессии, так одна задача на другую налазит.

 
 
 
 Re: Арифметическая прогрессия
Сообщение08.07.2012, 15:18 
Аватара пользователя
Давайте сначала решим просто, а потом я покажу, как ошибку найти.
Как Вы считаете, что больше: $a_1+a_{21}$ или $a_2+a_{20}$ ?

Ubermensch писал(а):
парсер не хочет русские буквы в индекс засовывать
Если очень нужно, то так: $S_\text{нечёт}=S_\text{чёт}+15$. Код: S_\text{нечёт}=S_\text{чёт}+15

 
 
 
 Re: Арифметическая прогрессия
Сообщение08.07.2012, 15:23 
Аватара пользователя
svv в сообщении #593458 писал(а):
Давайте сначала решим просто, а потом я покажу, как ошибку найти.
Как Вы считаете, что больше: $a_1+a_{21}$ или $a_2+a_{20}$ ?

Ubermensch писал(а):
парсер не хочет русские буквы в индекс засовывать
Если очень нужно, то так: $S_{\text{нечёт}}=S_{\text{чёт}}+15$. Код: S_{\text{нечёт}}=S_{\text{чёт}}+15

Одинаково по основному свойству прогрессии.

За код спасибо.

 
 
 
 Re: Арифметическая прогрессия
Сообщение08.07.2012, 15:28 
Аватара пользователя
Правильно.

У нас две чаши весов.
На левой чаше $a_1, a_3, a_5, a_7, a_9, a_{11}, a_{13}, a_{15}, a_{17}, a_{19}, a_{21}$.
На правой чаше $a_2, a_4, a_6, a_8, a_{10}, a_{12}, a_{14}, a_{16}, a_{18}, a_{20}$ и, для равновесия, гиря 15 кг, как сказано по условию.

Вы говорите, что если снять с левой чаши $a_1$ и $a_{21}$, а с правой $a_2$ и $a_{20}$, равновесие не нарушится. Снимаем — действительно, не нарушилось.

Что хочется сделать дальше?

 
 
 
 Re: Арифметическая прогрессия
Сообщение08.07.2012, 15:31 
Аватара пользователя
Значит $a_{11}=15$
Значит $a_1=15-10d$.
Блин, тогда $a_{12}=16$.

 
 
 
 Re: Арифметическая прогрессия
Сообщение08.07.2012, 15:36 
Аватара пользователя
Ubermensch в сообщении #593468 писал(а):
Значит $a_{11}=15$
Значит $a_1=15-10d$.

Правильно (только это). Аналогично,
$a_9=15-2d$
$a_{20}=15+9d$
Правильно?
Но $a_{20}=3 a_9$
Значит, ...

 
 
 
 Re: Арифметическая прогрессия
Сообщение08.07.2012, 15:41 
Аватара пользователя
Всё, вышло. Спасибо.

 
 
 
 Re: Арифметическая прогрессия
Сообщение08.07.2012, 15:43 
Аватара пользователя
Ошибку сами найдёте? Зная теперь все числа, подставляйте их последовательно во все утверждения из первоначального решения, пока не встретится первое утверждение, которое на этих известных числах не выполнится. Там и ошибка.

 
 
 
 Re: Арифметическая прогрессия
Сообщение08.07.2012, 15:47 
Аватара пользователя
Да, ошибка в вычислениях получилось.
Ну хоть идея решения правильная.
Эти задачи для подготовки к ЦТ(белорусский ЕГЭ), так я отключил олимпиадный подход к заданиям :-)
Спасибо за помощь.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group