Шестиугольная призма

[ole-ole-ole]

Хочу разогнать пространственное мышление, то есть не используя метод координат. (простите за немного кривые рисунки)

1) В правильной шестиугольной призме, все ребра которой равны $1$, найдите угол между $AF$ и плоскостью $BCC'$



Верны ли рассуждения? Проекция $AF$ на плоскость $BCC'$ есть $BC$, а значит сделаем параллельный перенос $AF$ на $OB$ , значит искомый угол будет $OBC$. А он равен $75$ градусов.

2) В правильной шестиугольной призме, все ребра которой равны $1$, найдите угол между прямой $CC'$ и плоскостью $BDE'$



Выполним параллельный перенос отрезка $CC'$, при котором он перейдет в $BB'$.
Так как $A'B$ является проекцией $BB'$ на плоскость $BDE'$, то искомый угол именно $A'BB'$. А он равен $45$ градусам.

3) В правильной шестиугольной призме, все ребра которой равны $1$, найдите угол между плоскостями $AFF'$ и $DEE.



Угол между плоскостями равен углу между прямыми $AF$ и $ED$. Верно ли утверждение - что угол между плоскостями равен углу между любыми двумя прямыми, одна из которых лежит в одной из этих двух плоскостей, а другая - в другой плоскости?

Сделаем паралельный перенос и искомый угол будет $OED$, а он равен 30 градусам.

А как тут можно было сделать методом координат - что значит угол между плоскостями?

4 ) В правильной шестиугольной призме, все ребра которой равны $1$, найдите расстояние от точки $A$ до прямой $D'F'$.



Правильно ли я понимаю, что нужно найти расстояние $AX$?

--------------------------------------------------------------

И вообще - верно ли я записываю, нужно ли в этих задачах ссылаться на перпендикулярности всякие итп? Что-то попутно доказывать?

[Keter]

1) Не нужно делать никаких параллельных переносов. Внимательно посмотрите, Вас просят найти угол между прямой и плоскостью, а Вы нашли между прямой и другой прямой $BC$, поэтому ответ не верный.

2) Просто $CC' \parallel BB'$. Здесь все верно.

3) Правильно. Эту задачу решать методом координат, всё равно, что уравнение $x^2+x=0$ через дискриминант.

4) Не верно. Расстояние от точки до прямой находится по перпендикуляру. Подсказка: для начала постройте перпендикуляр $AX$ из точки $A$ к прямой $FD$, затем из точки $X$ проведите перпендикуляр $XY$ к прямой $F'D'$, далее докажите, используя теорему о трёх перпендикулярах, что $XY \perp F'D'$ и найдите искомый угол.

[ole-ole-ole]

1) Но ведь угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, вот я и нашел этот угол между прямой и проекцией...Почему неправильно? Я неправильно нашел проекцию?

3) Верно ли утверждение - что угол между плоскостями равен углу между любыми двумя прямыми, одна из которых лежит в одной из этих двух плоскостей, а другая - в другой плоскости?

4) Чего-то не очень понял - сначала провести перпендикуляр, а потом доказать, что это перпендикуляр?

[Батороев]

ole-ole-ole в сообщении #592604 писал(а):

1) Но ведь угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, вот я и нашел этот угол между прямой и проекцией...Почему неправильно? Я неправильно нашел проекцию?

3) Верно ли утверждение - что угол между плоскостями равен углу между любыми двумя прямыми, одна из которых лежит в одной из этих двух плоскостей, а другая - в другой плоскости?

1) Проекцию нашли правильно. Неправильно изобразили основание правильной призмы, отчего получили неправильный ответ.
3) Не достает условия перпендикулярности этих прямых линий линии пересечения плоскостей.

[Keter]

ole-ole-ole, проведите $AX \perp FD \rightarrow XY \perp F'D'$, блиин я опечатался, далее докажите, что $AY \perp F'D'$

[ewert]

ole-ole-ole в сообщении #592581 писал(а):

найдите угол между $AF$ и плоскостью $BCC'$

Не понял юмора: $AF\|EB$, поэтому угол -- это просто угол $EBC$, т.е. просто 60 градусов.

[ole-ole-ole]

Батороев в сообщении #592690 писал(а):

1) Проекцию нашли правильно. Неправильно изобразили основание правильной призмы, отчего получили неправильный ответ.
3) Не достает условия перпендикулярности этих прямых линий линии пересечения плоскостей.

Спасибо, а почему неверно, не могу найти ошибки

[ole-ole-ole]

ewert в сообщении #592720 писал(а):

ole-ole-ole в сообщении #592581 писал(а):

найдите угол между $AF$ и плоскостью $BCC'$

Не понял юмора: $AF\|EB$, поэтому угол -- это просто угол $EBC$, т.е. просто 60 градусов.

Да, действительно, 60 градусов, но не могу найти ошибки в рисунке

[Батороев]

ole-ole-ole в сообщении #592742 писал(а):

Да, действительно, 60 градусов, но не могу найти ошибки в рисунке

В основании правильной пирамиды должен лежать правильный многоугольник. Шестиугольник, изображенный на Вашем рисунке, к таковым не относится.

-- 07 июл 2012 11:18 --

Может быть, это искажение моего монитора?! Но я смотрел на рисунок и с панорамного, и с обычного мониторов. На обоих шестиугольник кажется "сплюснутым".
Если все же Вы шестиугольник рисовали, как правильный, тогда ранее неправильно рассчитали угол.

-- 07 июл 2012 11:32 --

ole-ole-ole в сообщении #592581 писал(а):

Хочу разогнать пространственное мышление, то есть не используя метод координат. (простите за немного кривые рисунки)

Кривые рисунки в планиметрии могут сослужить плохую службу, а в стереометрии и подавно. Поэтому страйтесь, где возможно, рисовать, как можно точнее. Само желание добиваться этой точности в некоторой степени поможет развить пространственное мышление.