Функционально уравнение.

[Хет Зиф]

$f(f(x))=e^{x}$. Найти функцию

[Хорхе]

а какие условия на f?

[Хет Зиф]

Хорхе
Не знаю, мне самому так условие сказали. И нужно найти функцию. У меня что- то не выходит. Может как нибудь через ряды. Но тоже ничего дельного не получается.

[Хорхе]

http://www.mathpages.com/home/kmath507.htm

[neo66]

Пусть функция $f(x)$ определена на $\mathbb{R}$. Тогда ее можно построить так: разобьем множество {$x\leq0$} на упорядоченные пары $(a,b)$ так, что каждое $a\leq0$ всречается ровно в одной такой паре. Далее для каждой такой пары рассмотрим такую последовательность {$x_i, i=1,2,...$}:
$a,b,e^a,e^b,e^{e^a},e^{e^b},e^{e^{e^a}},e^{e^{e^b}}, ....$ и т.д. Определим $f(x_i)=x_{i+1}$. Нетрудно проверить, что это определение корректно и определенная так функция удовлетворяет условию задачи.

[Хет Зиф]

neo66
А если на функцию наложить условие непрерывности?

[PAV]

Перемещаю в раздел олимпиадных задач

[neo66]

Хет Зиф писал(а):

neo66
А если на функцию наложить условие непрерывности?

Можно построить кусочно непрерывную (и даже гладкую) функцию. Болше пока ничего сказать не могу.

[ИСН]

Можно построить не одну такую (непрерывную и даже гладкую) функцию.

[maxal]

См. http://forum.academ.org/index.php?showtopic=13568

[Борис Лейкин]

А мне вот тут пришлось такую помучить:
Линейная штука всегда остаётся линейной $f(x)=ax+b, f(f(x))=a^2x+ab+b, f(f(f(x)))=a^3x+a^2b+ab+b, \ldots$
$f(x)=2x+1, f_2(x)=4x+3, f_3(x)=8x+7, \ldots$
А что если мы, например, вместо $f_2(x)=4x+3$ напишем $f_2(x)=4x+2$, то чему будет равна $f(x)$?

[Mikhail Sokolov]

Борис, извиняюсь, не понял сути вопроса. Найти все решения или только линейные? Для линейных Вы общую формулу для второй итерации привели, решить систему двух уравнений относительно $a$ и $b$ вроде не проблема...

[Руст]

$f(x)=2x+\frac 23 .$

[Скорцонер]

Это довольно забавное уравнение. Дело в том, что его решение может быть выбрано на некотором участке произвольно. В общем виде: если обозначить через f*g*x суперпозицию функций f(g(x)), где g(x) - монотонная функция, g(x) > x, то чтобы построить непрерывное решение уравнения f*f*x = g*x, зависящее от произвольной функции, следует для некоторого а задать произвольное f = f(а), удовлетворяющее условию а<f<g(a). Тогда на «начальном» интервале [a,f) функция f(x) может быть выбрана в виде произвольной монотонной непрерывной функции, удовлетворяющей условиям f < f(x) < g(x), причем на правом конце начального интервала полагаем f(f(a)) = g(a). На остальной прямой f(x) однозначно достраивается по ее значениям на начальном интервале.
Кажется, что если потребовать выпуклость f, то решение будет однозначным. Так, в случае уравнения f*f*x = x + 1, наряду с единственным выпуклым решением f = x + 1/2 легко построить кусочно-линейные пилообразные решения. Добавка к линейному решению имеет период 1, так как f(x + 1) = f(x) + 1 = f*f*f*x.
Решение коммутативного соотношения f*g*x = g*f*x (при заданном монотонно возрастающем g и x<f<g) обладает сходными свойствами. Вся разница в том, что начальный интервал, (где решение задается произвольной функцией) для этого уравнения берется в виде [a, g(a) ), т.е. «вдвое больше» по сравнению с начальным интервалом [a, f(a) ) для уравнения f*f*x = g*x. Отсюда очевидно, что все решения 1). также перестановочны с функцией g, т.е. f*g = g*f (= f*f*f).

[ddn]

Это проблема, которая интересовала меня очень давно. Простых реккурентных формул для коэффициэнтов разложения функции в ряд здесь быть не может. Конечно же, существует функциональный произвол на множестве непрерывных решений этого уравнения, даваемых методом, указанным neo66. Это я знал. Действительно, достаточно определить на отрезке $a..b$, таком что $a<b<e^a$ монотонно строго возрастающую функцию $f(x)$, такую что $b=f(a)$, $e^a=f(b)$ и $x<f(x)$ для $a\leqslant x\leqslant b$, а дальше она задается на всей действительной оси.
Можно ограничиться заданием всего одной промежуточной точки $b$, а затем рассмотреть поржденные ею промежуточные точки $b,e^b,e^{e^b},e^{e^{e^b}}, ...$ расположенные между точками $a,e^a,e^{e^a},e^{e^{e^a}},e^{e^{e^{e^a}}}, ...$ Я пробовал, правда это было очень давно, с калькулятором в руках и на бумаге (Мапла тогда еще тоже не было) брать различные значения $b$ и экстраполировать эскизно график такой функции по этим промежуточным точкам, но у меня всегда получалась функция с иррегулярным поведением - волнистым, то есть ее производные уже не являются монотонно возрастающими, как у экспоненты - все это меня очень огорчало.

Даже если потребовать любую степень гладкости, все равно функциональный произвол остается. Но вот если потребовать аналитичность функции...
Я опять же давно проделывал это уже на Мапле, но условия, налагаемые на коэффициэнты ряда получаются непотребными даже для численного их нахождения. Я усекал функцию до многочленов, ограничиваясь конечным числом младших членов ряда Тейлора. Аналитичность в точке сшивки задавал условиями:
$(\frac{d}{dx})^{(k)}f(x)|_{x=b-0}=(\frac{d}{dx})^{(k)}f(x)|_{x=b+0} \Rightarrow (\frac{d}{dx})^{(k)}f(x)|_{x=b}=(\frac{d}{dx})^{(k)}f(x)|_{x=f(a)} \Rightarrow (\frac{d}{dx})^{(k)}f(x)|_{x=b}=(\frac{1}{\frac{d}{dt}f(t)}\frac{d}{dt})^{(k)}f(f(t))|_{t=a} \Rightarrow (\frac{d}{dx})^{(k)}f(x)|_{x=f(a)}=(\frac{1}{\frac{d}{dt}f(t)}\frac{d}{dt})^{(k)}e^t|_{t=a}$.
Но Мапл отказывался искать численое решение коэффициэнтов выше некоторого их числа. Потом, заменив $e^x$ на $e^x-1$ (для упрощения) и рассмотрев корни полученных многочленов, с ростом их степени (и ростом их приближения к точному решению), увидел, что корни почти равномерно заполняют некую приближенную окружность, радиус которой, к тому же, сужается. При увеличении степени, корни на "окружности" будут сгущаться. Получается, что точное аналитическое решение будет определено в области малого радиуса комплексной плоскости и за нее аналитически непродолжаемо?! Это будет печальный факт.

Но это устаревшие результаты. Вот что получил только что на Мапле, но уже через интерполяцию по одной произвольной точке $b$. Этот метод гораздо проще, но имеет ограничение. Взял $n=8$ точек интерполяции ($n$ больше $9$ брать нельзя - сверх большие числа) при $a=0$ и $b=0.4985806$ (это точка $b$ из очень узкого интервала, сравнимого с погрешностью, где при $n=8$ все коэффициэнты Тейлора выходят положительными), что дало полином Лагранжа степени 7:
0.43306619*10^{-10}*t^7+
0.33642825*10^{-8}*t^6+
0.15984091*10^{-4}*t^5+
0.35242958*10^{-3}*t^4+
0.22010205*10^{-1}*t^3+
0.24978246*t^2+
0.87564105*t+
0.49858060
В интервале $x=-1.62..8.75$ погрешность между $f(f(x))$ и $e^x$ не превышает 10%.
Возможно, при $n \to \infty$ точки $b$, при которых все коэффициэнты Тейлора положительны, будут $b \to \frac{1}{2}-0$.

Меня конечно заинтересовала и более общая задача: найти решение $f(x,t_2+t_1)=f(f(x,t_2),t_1)$ и $f(x,1)=a^x$ (где обязательно $a>e^{\frac{1}{e}}$). Тогда, очевидно, что $f(x,0)=x$ и $f(x,-1)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}$, а $f(x,\frac{1}{2})$ - решение первоначальной задачи при $a=e$. То есть, это обобщение операции композиции одинаковых функций на нецелые кратности $t$ которое, конечно, будет иметь смысл лишь если оно вводиться единственным образом.
Для просто непрерывных решений имеет место все тот же функциональный произвол, но что будет для аналитических функций по $x$ и $t$? Существует ли такое решение, да притом только с положительными коэффициэнтами ряда Тейлора по $x$ (все производные по $x$ монотонно возрастают при любых $t$).
Ведь единственно же решение $\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$ и $\Gamma(n)=(n-1)!$ при целых $n$. Это проблема единственности построения аналитической функции, заданной на счетном дискретном множестве и дополнительно всюду удовлетворяющей некоторому функциональному соотношению.

Потом, проанализировав задачу, я понял, что есть и еще более общая и естественная постановка этой задачи. Пусть на замкнутом интервале $a..b$ - конечном, полубесконечном или бесконечном, задана некая функция $g(x)$, такая, что $g(a)=a$, $g(b)=b$, $x\leqslant g(x)<+\infty$ при $a<x<b$ и $g(x_1)\leqslant g(x_2)$ при $a\leqslant x_1<x_2\leqslant b$. Функция $g(x)$ на интервале $a,b$ принадлежит определенному классу: дифференцируема $n$ раз (при $n=0$ - локально интегрируема по Ньютону, что верно для монотонных функций), непрерывно дифференцируема $n$ раз (при $n=0$ - непрерывна), бесконечно дифференцируема, либо аналитична. Существует ли функция $f(x,t)$, заданная при $a\leqslant x\leqslant b$ и $-\infty<t<+\infty$, такая что:
$f(x,t_2+t_1)=f(f(x,t_2),t_1)$ и $f(x,1)=g(x)$ (то есть $f(x,t+1)=g(f(x,t))=f(g(x),t)$), притом $f(x,t)$ имеет тот же класс (или выше) по $x$ что и $g(x)$ при любом $t$ и аналитична по $t$ при любом $x$ и $t$? Единственна ли она?
То есть, достаточны ли предложенные условия, налагаемые на функцию $g(x)$, для обобщения операции композиции данной функции от самой себя на нецелые кратности $t$.
При фиксированном $x$ значения функции по $t$ также монотонно возрастают и пробегают весь интервал $a..b$.
Если нет требования $g(b)=b$ (что может быть для конечных $b$), то $f(x,t)$ не определена при целых $t>0$ для достаточно больших $x$, а если не требовать $g(a)=a$, то $f(x,t)$ не определена при целых $t<0$ для достаточно малых $x$. Если же и $g(a)>a$ и $g(b)>b$, то $f(x,t)$ не определена при целых $t$ достаточно больших по модулю. И тогда бессмыслено искать аналитическое продолжение на любые $t$.

Это конечно совсем не олимпиадная задача, даже $f(f(x))=e^x$ не олимпиадная.

Если кто-нибудь, хоть что-нибудь знает о постановке данной проблемы или даже решении этого удивительного математического феномена!...