Как доказывается распределение Гиббса? (Как его вывести?)

[Toucan]

Oleg Zubelevich в сообщении #589968 писал(а):

для шибко понятливых студентов с 3-го участка

Bulinator в сообщении #589986 писал(а):

Oleg Zubelevich, еще раз, вы- хамло.

Oleg Zubelevich, предупреждение за хамство. По совокупности аналогичных нарушений -- недельный бан.

Bulinator, замечание за поддержание "дискуссии".

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #589993 писал(а):

Назовите конкретные примеры упомянутых в этой статье "многих важных систем", для которых "свойство эргодичности отсутствует", пожалуйста.

Спиновые стекла. Да и вообще стекла.

-- Чт июн 28, 2012 20:40:49 --

longstreet в сообщении #589906 писал(а):

Подскажите пожалуйста, как доказывается распределение Гиббса? Откуда вообще оно взялось?
Насколько я помню, везде, где я его встречал оно просто постулируется.

Обычно его выводят из микроканонического распределения того же Гиббса. Т.е. из условия, что в замкнутой системе, имеющей строго фиксированную энергию, вероятности всех состояний одинаковы.

Но лично мне всегда было более симпатично выводить из условного максимума энтропии. Условия надо наложить такие. Во-первых сумма всех вероятностей равна единице (ну это понятно). Во-вторых, фиксирована не сама энергия, а ее среднее значение (подумайте чем отличается физически). Энтропия это $-\sum p_i \ln p_i$. Добавив дополнительные лагранжевы слагаемые сводим задачу к безусловной максимизации:

$$ -\sum p_i \ln p_i + \lambda_1\sum p_i E_i + \lambda_2 \sum p_i \rightarrow max $$

Продиффиренцировав и приравняв производные нулю, получаем:

$$ -\ln p_j - 1 + \lambda_1E_j + \lambda_2 = 0 $$

Откуда

$$ p_j=\exp(\lambda_1E_j -1 + \lambda_2) $$

Далее лишь найти $\lambda_2$ из условия нормировки суммы всех вероятностей на единицу. Из равенства $1/T = dS/dE$ (посмотрте в т.5 Ландау-Лифшица откуда это берется) далее показываем, что $\lambda_1$ это ничто иное, как минус обратная температура.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #590046 писал(а):

Спиновые стекла. Да и вообще стекла.

Для них, насколько я понимаю, вообще не говорится, что они в термодинамическом равновесии. Или это не так?

[longstreet]

У меня вопрос и по термодинамическому равновесию:
считается, что изолированная система со временем обязательно придёт в состояние равновесия. Я не понимаю почему считается, что для изолированных систем имеет смысл температура. Как мы её измерим? Ведь для этого понадобится разъизолировать систему.

-- 28.06.2012, 21:42 --

Alex-Yu в сообщении #590046 писал(а):

Но лично мне всегда было более симпатично выводить из условного максимума энтропии.

Спасибо! Мне понадобится время чтобы проследовать за этим подходом...

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #590056 писал(а):

Alex-Yu в сообщении #590046 писал(а):

Спиновые стекла. Да и вообще стекла.

Для них, насколько я понимаю, вообще не говорится, что они в термодинамическом равновесии. Или это не так?

Частичное равновесие есть. Сложность (причем принципиальная) состоит, правда, в том, что не известно как выделить неравновесные степени свободы. Коллективные, естественно. Но, как бы то ни было, среднее по времени не равно среднему по ансамблю. А это и есть неэргодичность. И совершенно при этом не важно, по каким причинам эти средние не равны.

-- Пт июн 29, 2012 02:54:08 --

longstreet в сообщении #590138 писал(а):

У меня вопрос и по термодинамическому равновесию:
считается, что изолированная система со временем обязательно придёт в состояние равновесия. Я не понимаю почему считается, что для изолированных систем имеет смысл температура. Как мы её измерим? Ведь для этого понадобится разъизолировать систему.

Зачем? Термометр вполне может быть частью изолированной системы.

А вот на счет того, что со временем изолированная система (хотя такие в реальности бывают? скорее нет) придет в равновесие, это очень интересный вопрос. До сих пор не решенный, на сколько я знаю. Вроде как должна приходить в равносесие, т.к. это предположение довольно существенно в структуре статистической термодинамики, которая замечательно подтверждается экспериментом. В физике это типичный случай, когда доказательством является то, что следствия (именно следствия, а не напрямую) экспериментально подтверждаются. Но есть такой парадокс (или эксперимент, но тут имеется в виду компьютерный, численный эксперимент) Ферми-Улма-Палма (не уверен в правильности написания последних фамилий). Когда появились самые первые ЭВМ, эти исследователи проделали такой численный эксперимент. Они взяли набор осцилляторов, задали им некое начальное состояние и дальше наблюдали, что будет происходить со временем (численно решить соотвествующие дифуравнения не так уж сложно на компьютере). Естественно, ни к какому термодинамическомы равновесию независимые осцилляторы при этом приходить не будут. Но исследователи ожидали, что если ввести взаимодействие между осцилляторами (нелинейное, конечно, иначе все сводится опять к набору независимых осцилляторов, но других) то со временем распределение энергии придет именно к термодинамически равновесному. Так вот оказалось, что не приходит система в равновесие! Чего-то порядка 60 лет прошло, а, вроде, этот парадокс никто до сих пор пока не разрешил. Во всяком случае мне о таком читать не довелось. Кстати нынче такой численный эксперимент любой толковый студент может запросто повторить на персоналке. Интересно, что при этом получится на совсем другом уровне развития вычтехники... Я, видимо, так никогда уже и не соберусь этим поразвлекаться, другие дела, знаете ли...

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #590157 писал(а):

Частичное равновесие есть.

Ага, спасибо, значит, полного нет.

Alex-Yu в сообщении #590157 писал(а):

Есть такой парадокс (или эксперимент, но тут имеется в виду компьютерный, численный эксперимент) Ферми-Улма-Палма (не уверен в правильности написания последних фамилий).

Ферми-Паста-Улама (Fermi, Pasta, Ulam, http://en.wikipedia.org/wiki/Fermi-Pasta-Ulam_problem ).

Alex-Yu в сообщении #590157 писал(а):

Так вот оказалось, что не приходит система в равновесие!

Точнее, делает это намного медленнее, чем ожидалось. Придёт или не придёт - этого так и не выяснили, так что тут однозначных слов произносить нельзя.

Alex-Yu в сообщении #590157 писал(а):

Чего-то порядка 60 лет прошло, а, вроде, этот парадокс никто до сих пор пока не разрешил. Во всяком случае мне о таком читать не довелось.

В теории солитонов на это есть некоторый взгляд (не знаю, насколько он тянет на "разрешение парадокса").

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #590170 писал(а):

В теории солитонов на это есть некоторый взгляд (не знаю, насколько он тянет на "разрешение парадокса").

Оттуда я об этом что-то и слышал. Но причем тут солитоны? Солитоны -- одно, термодинамика -- совсем другое. Солитоны, не солитоны, а равновесие должно получаться! Возможно, надо добавить какие-то более сложные взаимодействия (хотябы малые добавки есть всегда какие угодно), чтобы система перестала быть интегрируемой. Может тогда будет получаться равновесие. Но вот кто бы это все сделал и толково описал Может просто мне не повезло, и такая уже сделанная работа мне на глаза не попалась. Не знаю. Пою только о том, что когда-либо видел. А уж чего не видел...

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #590177 писал(а):

Солитоны, не солитоны, а равновесие должно получаться!

Ну вот обычная система линейных осцилляторов, связанных или несвязанных, не считается же вами обязанной приходить в равновесие, и никакого дискомфорта вы по этому поводу не испытываете. Теория солитонов просто находит аналогии такой системе в нелинейной ситуации.

Alex-Yu в сообщении #590177 писал(а):

Возможно, надо добавить какие-то более сложные взаимодействия (хотябы малые добавки есть всегда какие угодно), чтобы система перестала быть интегрируемой.

Думаю, это уже в теорию хаоса упирается. Ох, как всё взаимосвязано...

Alex-Yu в сообщении #590177 писал(а):

Но вот кто бы это все сделал и толково описал

Нужен энциклопедист, овладевший тремя-четырьмя теориями, чтобы суметь перебросить мостики между ними, и связать воедино :-)

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #590187 писал(а):

Ну вот обычная система линейных осцилляторов, связанных или несвязанных, не считается же вами обязанной приходить в равновесие, и никакого дискомфорта вы по этому поводу не испытываете.

Все равно остается вопрос: чего в супе не хватает, чтобы он был физически съедобен. То, что без ангармонизма он не съедобен в данном аспекте, и так понятно.

-- Пт июн 29, 2012 04:25:07 --

Munin в сообщении #590187 писал(а):

Нужен энциклопедист, овладевший тремя-четырьмя теориями,

Тут задача в значительной мере (компютерно-) экспериментальная. Так что особого энциклопедизма ИМХО не нужно.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #590191 писал(а):

Все равно остается вопрос: чего в супе не хватает, чтобы он был физически съедобен.

Ага.

Alex-Yu в сообщении #590191 писал(а):

Тут задача в значительной мере (компютерно-) экспериментальная. Так что особого энциклопедизма ИМХО не нужно.

Думаю, напротив, умственно-исследовательская. Ну да это пустой спор, пока мы оба ничего не делаем.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #590192 писал(а):

Думаю, напротив, умственно-исследовательская.

Довольно примитивный по нынешним временам эксперимент, требующий, правда, некоторого трудолюбия, -- это было бы уже кое-что. И вполне по силам толковому, усердному студенту. Ну а полное решение проблемы во всей ее полноте...

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #590194 писал(а):

Довольно примитивный по нынешним временам эксперимент, требующий, правда, некоторого трудолюбия, -- это было бы уже кое-что. И вполне по силам толковому, усердному студенту.

В таких объёмах, я уверен, их уже делают и немало наделали. Но что-то прорывов не происходит.

[druggist]

Alex-Yu в сообщении #590046 писал(а):

Спиновые стекла. Да и вообще стекла.

Любой ферромагнетик ниже точки Кюри вроде бы как тоже обладает данным свойством, т.е., отсутствием эргодичности.

Alex-Yu в сообщении #590046 писал(а):

Но лично мне всегда было более симпатично выводить из условного максимума энтропии. Условия надо наложить такие. Во-первых сумма всех вероятностей равна единице (ну это понятно). Во-вторых, фиксирована не сама энергия, а ее среднее значение (подумайте чем отличается физически).

Здесь возможно недоразумение, при выводе из микроканонического распределения, энергия системы(распределение которой по энергии ищется, т.е. малой подсистемы в термостате) вовсе не предполагается фиксированной, фиксирована сумма энергий системы плюс термостат.

[Alex-Yu]

druggist в сообщении #590309 писал(а):

Здесь возможно недоразумение, при выводе из микроканонического распределения, энергия системы(распределение которой по энергии ищется, т.е. малой подсистемы в термостате) вовсе не предполагается фиксированной, фиксирована сумма энергий системы плюс термостат.

Хм... Вроде совершенно ясно написано, что фиксированная энергия относится к микроканоническому распределению. Каноническое же распределение Гиббса (то, которое с экспонентой), естественно, не предполагает фиксированной энергии системы, иначе было бы микроканоническое, а не каноничесокое А причем здесь процитированная фраза вообще не понятно.

[druggist]

Alex-Yu в сообщении #590489 писал(а):

Вроде совершенно ясно написано, что фиксированная энергия относится к микроканоническому распределению

Ну и неправильно написано. Нет, не относится. Там при выводе фиксирована энергия не малой подсистемы, распределение которой ищется а замкнутой большой системы, а энергия подсистемы м.б. любой. А в методе Больцмана, который вы приводите(условный экстремум) фиксируется средняя энергия именной той системы, распределение которой ищется. Поэтому, подобная фраза "в одном случае фиксирована энергия а в другом средняя энергия" у меня лично вызвала недоумение