Как обнулить функцию?

[Munin]

ewert в сообщении #590451 писал(а):

Какого -- такого?...

Вот у меня дифур $y'=-1.$ Я хочу его модифицировать так, чтобы решение, дойдя до нуля, после этого продолжалось как константа нуль. Прошу, маэстро.
Тот же вопрос для $y''=-y.$

[VPro]

Munin в сообщении #590452 писал(а):

ewert в сообщении #590451 писал(а):

Какого -- такого?...

Вот у меня дифур $y'=-1.$ Я хочу его модифицировать так, чтобы решение, дойдя до нуля, после этого продолжалось как константа нуль. Прошу, маэстро.
Тот же вопрос для $y''=-y.$

Первый диффур. Добавляем член $y'=-1-1.1{\rm sgn}y$. Функцию сигнума переопределяем в 0: ${\rm sgn}(0)=-1/1.1$.
Со вторым сложнее. Можно рассмотреть уже решенную задачу синтеза наискорейшего приведения системы $y''=-y+u$, $|u(y,y')|\le 1$ из любого начального состояния $(y,y')$ в состояние $(0,0)$. В любом учебнике по теории оптимального управления решение $u(y,y')$ строится как разрывная релейная функция. Линии разрыва (кривые переключения) на фазовой плоскости ее, собственно говоря, и определяют.

[Munin]

Это ничо, что у вас решение до нуля другое получается?

[VPro]

Ничего. Я демонстрировал принцип и показал систему, и даже устойчивую систему, останавливающуюся после достижения 0. Что такие системы вполне возможны.
Для первого примера, чтобы решение до 0 сохранялось, нужно взять, например, систему $y'=-1+f(y)$, где f(y) всюду равна нулю, за исключением 0, где она равна 1. Со вторым там все сложнее, но, думаю, не безнадежно.

-- Пт июн 29, 2012 22:46:37 --

Кстати TC ставит весьма противоречивую задачу.

purser в сообщении #590338 писал(а):

Есть обычное дифф. уравнение. Его решение - некая убывающая функция. Как мне допилить это уравнение таким образом, чтобы решением была "обрезанная" функция, которая совпадает с исходной только до своего первого нуля, и дальше остается нулем.

Если "допилить" в инженерном смысле, с учетом устойчивости, то новая система неизбежно будет отличаться от исходной и на начальном участке.

PS Впрочем, это я почему-то мыслю в сторону пассивных систем. Если управление активно, то можно создать устройство следящее за состоянием системы и вырабатывающее нужное импульсное воздействие для остановки системы в 0.

[Munin]

VPro в сообщении #590467 писал(а):

где f(y) всюду равна нулю, за исключением 0, где она равна 1.

Понятен принцип.

[spctr]

VPro в сообщении #590462 писал(а):

Со вторым сложнее. Можно рассмотреть уже решенную задачу синтеза наискорейшего приведения системы $y''=-y+u$, $|u(y,y')|\le 1$ из любого начального состояния $(y,y')$ в состояние $(0,0)$. В любом учебнике по теории оптимального управления решение $u(y,y')$ строится как разрывная релейная функция. Линии разрыва (кривые переключения) на фазовой плоскости ее, собственно говоря, и определяют.

Ох уж это оптимальное управление, используют его там где надо и там, где не надо. При чём тут критерий быстродействия, если требуется обеспечить желаемое движение? Тогда уж критерий должен быть ошибкой. И раз уж строите разрывное управление, то лучше тупо включать его около нуля. Тогда на начальном этапе поведение будет совпадать с желаемым, а затем управление стабилизирует систему в нуле.
А вообще постановка задачи ТС непонятна, если это теоретическая математическая задача, то этот пост, к примеру, совсем не по делу, а если это практическая задача, то нужно более детально знать условия.

[VPro]

Согласен. Просто тут зашел спор о том, что такие системы, останавливающиеся в нужном месте вообще не возможны. Вот я и вспомнил задачки оптимального быстродействия, где решения именно так себя и ведут.
А техническим решением исходной проблемы будет управляющее устройство, следящее за системой и в нужный момент вырабатывающее импульсное воздействие, гасящее всякие там остаточные скорости.

[_hum_]

VPro в сообщении #590467 писал(а):

Для первого примера, чтобы решение до 0 сохранялось, нужно взять, например, систему $y'=-1+f(y)$, где f(y) всюду равна нулю, за исключением 0, где она равна 1. Со вторым там все сложнее, но, думаю, не безнадежно.

Извиняюсь, но разве функция
\begin{align*} y^*(x) = \begin{cases} -x, &\text { если }x < 0,\\ \phantom{-}0, &\text{ иначе }\end{cases} \end{align*}
будет решением приведенного уравнения? Ведь в точке $x = 0$ производная этой функции не определена (соответственно, об удовлетворении уравнению не может быть речи, если только в решение уравнения не вкладывается некий другой смысл, а не простое выполнение в каждой точке $x$ соответствующего равенства).

[VPro]

Рассматриваемое решение уравнения $y'=-1+f(y)$ с начальным условием $y(0)=y_0>0$ будет состоять из двух срощенных траекторий. Первая $y=y_0-x$ при $x\le y_0$. Вторая - положение равновесия $y=0$ (в этой точке правая часть уравнения обращается в 0). А то, что две траектории пересекаются говорит о том, что в системах с разрывной правой частью может отсутствовать единственность. Ее здесь и нет.

[_hum_]

Прошу прощения, но я все же не соглашусь - формально такая сшивка не будет удовлетворять уравнению, поскольку в точке $x_0$ не будет выполняться $y'(x_0) = -1 + f(y(x_0))$.

[VPro]

_hum_ в сообщении #590512 писал(а):

Прошу прощения, но я все же не соглашусь - формально такая сшивка не будет удовлетворять уравнению, поскольку в точке $x_0$ не будет выполняться $y'(x_0) = -1 + f(y(x_0))$.

Однако, будет. В точке $x_0$ выполнено $y=0$ и диф. уравнение обращается в $y'=0$. С другой стороны, траектория $y=0$ удовлетворяет этому д.у.

[_hum_]

VPro в сообщении #590517 писал(а):

_hum_ в сообщении #590512 писал(а):

Прошу прощения, но я все же не соглашусь - формально такая сшивка не будет удовлетворять уравнению, поскольку в точке $x_0$ не будет выполняться $y'(x_0) = -1 + f(y(x_0))$.

Однако, будет. В точке $x_0$ выполнено $y=0$ и диф. уравнение обращается в $y'=0$. С другой стороны, траектория $y=0$ удовлетворяет этому д.у.

Нет, не будет. Обращаемся к мат. энциклопедии, статья ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ОБЫКНОВЕННОЕ (http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/1590/%D0%94%D0%98%D0%A4%D0%A4%D0%95%D0%A0%D0%95%D0%9D%D0%A6%D0%98%D0%90%D0%9B%D0%AC%D0%9D%D0%9E%D0%95).

Д.у.о 1-го порядка

$$x' = f(t,x) \quad (2), $$

где $f(t,x)$ - известная функция, определенная в некоторой области $D$ плоскости $t, x$. [...]
Решением Д.у.о. (2) наз. функция$ x = x(t)$, определенная и дифференцируемая в некотором интервале $I$ и удовлетворяющая условиям:

$$\big(t, x(t)\big) \in D, t \in I,$$

$$x'(t) = f(t, x(t)), t \in I.$$

В вашем случае функция не будет дифференцируемой в точке $x_0$, поскольку там она имеет излом.: правосторонняя производная будет равна $0$, левосторонняя $-1$. Соответственно, говорить о том, что эта функция удовлетворяет уравнению в точке $x_0$ неправомерно.

[VPro]

Да, с точки зрения классического определения решения, решения у этой системы нет. Но для систем с разрывной по y правой частью решения определяется иначе, обычно как решение дифференциального включения. Подробнее можно посмотреть в монографии Филиппова А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью.
В результате, решение рассматриваемой системы комбинируется из 2-х классических решений.
Первое решение при $y(0)=y_0>0$: $y(x)=y_0-x$.
Второе решение при $y(x_0)=0$: $y(x)\equiv0$.

[_hum_]

Ха, ну, это другое дело.
Таким образом, можно резюмировать - в исходной постановке проблема ТС все же не решается (в общем случае нельзя видоизменить ОДУ таким образом, чтобы решение [в общепринятом смысле] начало "останавливаться в нуле").

Как вариант, можно попытаться рассматривать вместо обычного решения ОДУ решение Каратеодори (в терминологии Филиппова). И если это окажется адекватно проблемной ситуации, то для него уже нетрудно будет построить нужную модификацию уравнения.

[purser]

Теперь ясно, что эта проблема просто не решается((. Изначально было вот что.
Я вбил в Maple СДУ, которая моделирует сражение двух сторон, но на выходе получалась ерунда. Довольно быстро понял, что в модели подразумевается, что почти все функции неотрицательно определены, например, запасы живой силы, вооружения и прочее.
То есть если закончились снаряды, то в минус уходить им нет никакого смысла. Вроде бы вполне жизненная такая модель. Но как объяснить это в дифф. уравнениях...