Как обнулить функцию?

[purser]

Есть обычное дифф. уравнение. Его решение - некая убывающая функция. Как мне допилить это уравнение таким образом, чтобы решением была "обрезанная" функция, которая совпадает с исходной только до своего первого нуля, и дальше остается нулем.

[Munin]

Никак. Скорее всего, для этого потребуется излом в нуле, а дифференциальные уравнения не позволяют таких решений, их решения не продолжаются после первого же излома.

[_hum_]

purser в сообщении #590338 писал(а):

которая совпадает с исходной только до своего первого нуля, и дальше остается нулем

Странно звучит. Если она совпадает с исходной до нуля, то и в нуле будет совпадать (если о непрерывных решениях идет речь). А значит, исходная тоже в таком случае обязана принимать нулевое значение. Тогда в чем стоит задача? Или хочется, чтобы после своего нулевого значения решение оставалось нулевым? Если так, то тогда наверное нужно, чтобы в нуле из-за этого излома не получалось.

[purser]

Да, важно, чтобы функция и далее оставалась нулем. Об этом я написал в исходном посте.

[Someone]

Ну, например, для уравнения $y'=-2\sqrt{y}$ решения (кроме решения $y=0$) имеют вид

$$y=\begin{cases}(x-C)^2&\text{при }x<C,\\ 0&\text{при }x\geqslant C.\end{cases}$$

[VPro]

purser в сообщении #590338 писал(а):

Есть обычное дифф. уравнение. Его решение - некая убывающая функция. Как мне допилить это уравнение таким образом, чтобы решением была "обрезанная" функция, которая совпадает с исходной только до своего первого нуля, и дальше остается нулем.

Вашу задачу можно рассматривать как задачу теории управления. Требуется удержать тракторию на заданном множестве (в заданной точке) при ее достижении. Для этого добавляем к правой части системы слагаемое - управление и выбираем его для достижения поставленной цели.
Пусть уравнение системы имеет вид: $\dot x=f(x,t)$. Добавляем управление: $\dot x=f(x,t)+u(x,t)$. Ограничиваем его: $|u(x,t)|\le u_0$ Чтобы траектории $x(t)$ достигала состояния $x=0$ и оставалась в нем, можно, например, решить задачу построения управления, минимизирующего функционал $\int\limits_0^\infty{x^2(t)dt}$.
Можно, конечно, просто назначить управление с подходящими свойствами. Например, что-то вроде $u=-a{\rm sign}(x)$.
Если бы Вы выписали здесь свою систему, разговор мог бы получиться конкретнее.

[ewert]

_hum_ в сообщении #590356 писал(а):

Если так, то тогда наверное нужно, чтобы в нуле из-за этого излома не получалось.

Munin в сообщении #590340 писал(а):

Скорее всего, для этого потребуется излом в нуле, а дифференциальные уравнения не позволяют таких решений

Вполне себе позволяют. Правая часть ДУ вовсе не обязана быть непрерывной по иксам (по игрекам -- обязана). Другое дело, что исходной постановки вопроса я тоже не понимаю. Что, зачем, почему?...

[_hum_]

ewert
Если исходное решение пересекается с $Ox$ под ненулевым углом, то тождественно нулевое продолжение даст в итоге функцию с изломом (недифференцируемую в рассматриваемой точке). И значит, в классическом понимании она не сможет быть решением никакого ОДУ. Я это имел в виду.

[ewert]

_hum_ в сообщении #590402 писал(а):

И значит, в классическом понимании она не сможет быть решением никакого ОДУ

Естественно. Только вот "классическое понимание" неестественно -- уж слишком часто на практике приходится сталкиваться с разрывными коэффициентами. Для которых общая теория далеко не всегда меняется хоть сколько-то существенно.

[VPro]

По поводу дифференциальных уравнений с разрывной правой частью существует обширная литература. Вот
http://www.mathnet.ru/links/e6643f828a8f2a04237f2f4f1d63a94b/sm4807.pdf
можете взглянуть на одну из пионерских работ в данном направлении.

[_hum_]

ewert
Честно говоря, до сих пор думал, что и в ДУ с разрывными коэффициентами все равно предполагается поиск дифференцируемых решений, ибо разве в противном случае такое ДУ просто не разваливается на несколько отдельных ОДУ (со своими областями определения функций) с никак не связанными между собой решениями?

[ewert]

Да зачем тут литература?... Дело просто в том, что дифференциальное уравнение эквивалентно соотв. интегральному. С той оговоркой, что для дифференциального уравнения формальная гладкость необходима, а для интегрального -- нет. А поскольку все реальные измерения производятся интегрально -- не имеет никакого значения, что в отдельных точках производная формально не существует. Тем более что обоснование разрешимости дифуров сводится всё равно к интегральным уравнениям.

-- Пт июн 29, 2012 19:57:46 --

_hum_ в сообщении #590407 писал(а):

ибо разве в противном случае такое ДУ просто не разваливается на несколько отдельных ОДУ (со своими областями определения функций)

Нет. Т.е. иногда разваливается, а иногда и нет.

Скажем, для линейных систем (а я, в общем, их и имел в виду) $\vec y'(x)=A(x)\,\vec y(x)$ общие их свойства ровно никак не зависят от разрывности или непрерывности матричнозначной функции $A(x)$ и даже от её ограниченности -- лишь бы эта функция была локально суммируема. Вот если у неё особенности слишком сильные, не дающие локальной суммируемости -- тогда да, развалятся.

[Munin]

ewert
Хорошо. Приведите пример такого ДУ.

[spctr]

Если это практическая задача, а не чисто математическая, то самое простое воткнуть последовательно звено со следующей статической характеристикой:

$$y=\begin{cases}x&\text{при }x>0,\\ 0&\text{при }x\leqslant 0.\end{cases}$$

Правда в большинстве случаев система такого не позволит. Тогда, возможно стоит посмотреть в сторону разрывных управлений и скользящих режимов.

[ewert]

Munin в сообщении #590444 писал(а):

Приведите пример такого ДУ.

Какого -- такого?...

Ясно же сказано. При суммируемости коэффициентов никаких проблем с продолжимостью решений не возникает. При несуммируемости -- продолжимость некорректна и область тем самым разрывается.