Лемма о неподвижной точке.

[Руст]

В книге Каток, Хассельблат "Введение в теорию динамических систем" встретил лемму 2.3.2, использующую существование неподвижной точки в интервале (a,b) (a<b) для неубывающей функции f(x), если f(a)>a,f(b)<b (для случая f(a)<a,f(b)>b неподвижная точка может отсутствовать). Указанная лемма верна и без условия непрерывности для f(x). Однако, в доказательстве (в данной книге) использовали условие непрерывности, отсутствующей в условии леммы. То ли забывчивость авторов, то ли их неграмотность.

[shwedka]

Руст писал(а):

Указанная лемма верна и без условия непрерывности для f(x).

Вам не трудно привести доказательство леммы без условия непрерывности??

[RIP]

Здесь было сообщение, которое могло показаться бессмысленным.

[Руст]

shwedka писал(а):

Руст писал(а):

Указанная лемма верна и без условия непрерывности для f(x).

Вам не трудно привести доказательство леммы без условия непрерывности??

В условиии имеется ещё f(a)>a,f(b)<b (кроме неубывания).

[shwedka]

Руст писал(а):

В условиии имеется ещё f(a)>a,f(b)<b (кроме неубывания).

Доказательство предъявите, плиз.

[RIP]

Пусть $A=\{x\in[a;b]\mid f(x)>x\}$, $x_0=\sup A$. Тогда $f(x_0)=x_0$.

[Руст]

Да. Можно ещё и со стороны b определить дуальное множество B и найти аналогичную неподвижную точку (возможно совпадающую с этим).

[Руст]

Можно обобщить эту лемму. Пусть на X задана структура полной решётки: Задано такое упорядочение, что для любых двух элементов x и y существует нижняя верхняя грань и нижняя верхняя грань и для любого подмножества существует нижняя верхняя грань sup (аналогично для случая, когда существует inf). Пусть в X существует минимальный элемент и отображение f:X-->X монотонное (если х>=y, то f(x)>=f(y)), тогда отображение имеет неподвижную точку.
В такой формулировке (без непрерывности) эта лемма обобщает теорему о неподвижной точке для непрерывных отображений компакта в себя. Для этого надо показать, что можно ввести структуру полной решётки, наподобие $x=(x_1,x_2,...,x_n)\ge (y_1,y_2,...,y_n)=y$ тогда и только тогда, когда $x_i\ge y_i \ \forall i$ (упорядочение не линейное), так, чтобы отображение стало монотонной.

[terminator-II]

Рассмотрим функцию $f:[0,1]\to[0,1]$ такую, что при $x\in(0,1]$ будет $\limsup_{y\to x-0}f(y)\le f(x)$, и при $x\in[0,1)$ будет $\liminf_{y\to x+0}f(y)\ge f(x)$.
Доказать, что $f$ имеет неподвижную точку.

[ewert]

Берём $x_0=\sup\big\{x:\;f(x)\geqslant x\big\}$ (это множество не пусто). Если $f(x_0)>x_0$, то нехорош верхний предел в этой точке справа, а если $f(x_0)<x_0$, то не слава богу слева.

[neo66]

Кстати, функция $f$ - неубывающая. И, любая неубывающая функция имеет неподвижную точку. Аргумент тот же, что и у ewert.

[ewert]

neo66 в сообщении #338386 писал(а):

Кстати, функция $f$ - неубывающая.

Вовсе не факт. Ей лишь "скачками" запрещено убывать.

[neo66]

Да, поторопился.
Но, второе утверждение верно.

[RIP]

topic6789.html

Темы объединены. // maxal

[hurtsy]

RIP в сообщении #58990 писал(а):

Пусть , $A=\{x\in[a;b]\mid f(x)>x\}$

Неубывание выглядит как то так $ f(x)\geq f(a)$.
В точке $b$ для функции $f(x)>x$ нарушается краевое условие $f(b)<b$.
Это, конечно, занудство. Я согласен с доказательством, но не согласен с описанием $A$. С уважением,