Немного биекций

[Asker Tasker]

Необходимо построить следующие взаимно однозначные соответствия (указаны в верхней строке после объявления задачи). Верны ли следующие рассуждения? Можно ли решить поставленные задачи проще?
Задача 1
$ (0; 1) \leftrightarrow (-\infty; +\infty) $
1. $ y_{1} = \frac{\pi}{2} \cdot x$
$y_{1} : (0; 1) \leftrightarrow (0; \frac{\pi}{2}) $
2. $ y_{2} = 2 \cdot x - \frac{\pi}{2} $
$y_{1} : (0; \frac{\pi}{2}) \leftrightarrow (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $
3. $ y_{3} = \tg(x) $
$ y_{3} : \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \leftrightarrow (-\infty; +\infty) $

Задача 2
$ [0; 1) \leftrightarrow [0; + \infty) $
$ y = \tg(x)$

Задача 3
$ [0; 1] \leftrightarrow (0; 1) $
Положим $ A = \{\frac{1}{n+1}\}_{n=1}^{\infty} \equiv \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty} $, тогда множество А, очевидно, счётно. Построим следующую биекцию:
1) если $x \in (0; 1) \backslash A $, то $ x \leftrightarrow x $
2) если $x \in A$, то:
$0 \leftrightarrow \frac{1}{2}$

$1 \leftrightarrow \frac{1}{3}$

$\frac{1}{n} \leftrightarrow \frac{1}{n+2} (n > 2)$

Задача 4
$ [0; 1] \leftrightarrow (-\infty; +\infty) $
1) Построим биекцию из прошлой задачи
$y_{1} : [0; 1] \leftrightarrow (0; 1)$
2) Затем построим биекцию из задачи 1
$y_{2} : (0; 1) \leftrightarrow (-\infty; +\infty)$

Задача 5
$ [0; 1] \leftrightarrow [0; 1] \backslash \mathbb{Q}$
Пусть $ \alpha $ - некоторое число из множества $[0; 1] \backslash \mathbb{Q}$ (предъявим одно такое: $\frac{\sqrt{2}}{2})$
Положим $ B = \{\frac{\alpha}{n}\}_{n=1}^{\infty} \equiv \{b_{n}\}_{n=1}^{\infty} $.
Множество рациональных чисел счётно, поэтому счётно и множество $ [0; 1] \bigcap \mathbb{Q} $. А это, по определению, означает, что элементы этого множества можно расположить в последовательность: $ [0; 1] \bigcap \mathbb{Q} = \{r_{n}\}_{n=1}^{\infty} $
Объединим множества $ [0; 1] \bigcap \mathbb{Q} $ и $ B $ в одну последовательность $C$:
$\begin{cases} c_{2k-1} = b_{k} \\ c_{2k} = r_{k} \end{cases}$
А теперь построим биекцию:
1) если $ x \in [0; 1] \backslash C $, то $ x \leftrightarrow x $
2) $ b_{k} \leftrightarrow c_{k}$

[samson4747]

Задача 1
$ (0; 1) \leftrightarrow (-\infty; +\infty) $

Логика верна, можно сразу $\varphi(x)=\tg\left(\pi x-\dfrac{\pi}{2}\right)$

Задача 2
$ [0; 1) \leftrightarrow [0; + \infty) $
Допустим я догадался, что Вы имеете ввиду часть тангенса в первой четверти, но разве у него асимптота $1$? Может всё таки у него ассимптота $\ \dfrac{\pi}{2}$.
Как теперь исправить думаю Вам ясно.

Задача 3
$ [0; 1] \leftrightarrow (0; 1) $

Честно, скажу до сих пор мне не нравится биекция между $(a,\,b)$ и $[a,\,b]$, возможно потому что сам не построил данной функции.
У Вас мне странно, что Вы и $\dfrac{1}{2} \leftrightarrow \dfrac{1}{2}$ и $0 \leftrightarrow \dfrac{1}{2}$, попробуйте так:
Пусть $B=\{x_k=2^{-k}:\,k\in\mathbb N\}$. Установим взаимно однозначное соответствие $\varphi$ между множествами $B\cup\{0,\,1\}$ и $B$ следующим образом: $\varphi(0)=x_1,\ \varphi(1)=x_2,\ \varphi(x_k)=x_{k+2},\ k\in\mathbb N$. Теперь положим
$\Phi(x) = \left\{\begin{matrix} \varphi(x), &x \in B\cup\{0,\,1\}, \\ x, &x \in (0,\,1)\setminus B. \end{matrix}\right. $


Задача 4
$ [0; 1] \leftrightarrow (-\infty; +\infty) $
Заметим, что данная функция не будет непрерывной. (не существует непрерывной функции взаимно однозначно отображающей $[a,\,b]$ на всю числовую ось)

[xmaister]

(Оффтоп)

samson4747 в сообщении #589231 писал(а):

(не существует непрерывной функции взаимно однозначно отображающей $[a.\,b]$ на всю числовую ось)

Конечно не существует, ведь $[a,b]$- компакт

[samson4747]

(Оффтоп)

Ясно, но на всякий случай стоит отметить

-- 26.06.2012, 13:55 --

Если хотите разобраться с данной темой(насколько понимаю Вы изучаете: Мощность множеств), советую книжечку:
Очан Ю.С. Сборник задач и теорем по теории функций действительного переменного. М.: Просвещение, 1981.

[Asker Tasker]

samson4747 в сообщении #589231 писал(а):

Установим взаимно однозначное соответствие $\varphi$ между множествами $B\cup\{0,\,1\}$ и $B$ следующим образом: $\varphi(0)=x_1,\ \varphi(1)=x_2,\ \varphi(x_k)=x_{k+2},\ k\in\mathbb N$. Теперь положим
$\Phi(x) = \left\{\begin{matrix} \varphi(x), &x \in B\cup\{0,\,1\}, \\ x, &x \in (0,\,1)\setminus B. \end{matrix}\right. $

$0 \leftrightarrow x_1=\frac{1}{2}$
$1 \leftrightarrow x_2=\frac{1}{4}$
$x_{k}=2^{-k} \leftrightarrow x_{k+2}=2^{-(k+2)}$
$x_{k+1}=2^{-(k+1)} \leftrightarrow x_{k+3}=2^{-(k+3)}$
$x_{k+2}=2^{-(k+2)} \leftrightarrow x_{k+4}=2^{-(k+4)}$
То есть $2^{-(k+2)} \leftrightarrow 2^{-k}$ и $2^{-(k+2)} \leftrightarrow 2^{-(k+4)}$.
Или я что-то не понял?

samson4747 в сообщении #589231 писал(а):

Задача 2
Допустим я догадался, что Вы имеете ввиду часть тангенса в первой четверти, но разве у него асимптота ? Может всё таки у него ассимптота .
Как теперь исправить думаю Вам ясно.

Там по аналогии с первой задачей делается. Я на автомате набирал - умножение на пи/2 забыл указать

[Asker Tasker]

Asker Tasker в сообщении #589313 писал(а):

$0 \leftrightarrow x_1=\frac{1}{2}$
$1 \leftrightarrow x_2=\frac{1}{4}$
$x_{k}=2^{-k} \leftrightarrow x_{k+2}=2^{-(k+2)}$
$x_{k+1}=2^{-(k+1)} \leftrightarrow x_{k+3}=2^{-(k+3)}$
$x_{k+2}=2^{-(k+2)} \leftrightarrow x_{k+4}=2^{-(k+4)}$
То есть $2^{-(k+2)} \leftrightarrow 2^{-k}$ и $2^{-(k+2)} \leftrightarrow 2^{-(k+4)}$.
Или я что-то не понял?

Извините, глупость написал.

Достаточно взять любую последовательность, содержащуюся в интервале: $\{ a_{n} \} = \{ \frac{1}{n+1} \}_{n=1}^{\infty}$ или $\{ a_{n} \} = \{ \frac{1}{2^{n}} \}_{n=1}^{\infty}$, или ещё какую-нибудь и добавить к ней первыми двумя членами концы интервала - получим последовательность $b_{n}$ (в ней встречаются все члены последовательности $a_{n}$, только они сдвинуты на два номера вперёд):
$b_{1} = 0$
$b_{2} = 1$
$b_{k} = a_{k-2}$

Теперь у нас две последовательности, в каждой из которых все члены попарно различны, поэтому каждая из этих последовательностей задаёт биекцию между множеством её членов и множеством натуральных чисел:
$ a_{k} \leftrightarrow k$
$ b_{k} \leftrightarrow k$
Составим композицию этих биекций:
$ a_{k} \leftrightarrow k \leftrightarrow b_{k}$
или короче: $ a_{k} \leftrightarrow b_{k}$

Насколько я понимаю, у нас та же $\frac{1}{2}$ хоть и в ходит в обе последовательности, но её вхождения не одинаковы, то есть, на мой взгляд, корректнее мне было бы указывать на то, с каким множеством работаем, и тогда:
$ 0_{b} \leftrightarrow \frac{1}{2}_{a} $
$ 1_{b} \leftrightarrow \frac{1}{3}_{a} $
$ \frac{1}{2}_{b} \leftrightarrow \frac{1}{4}_{a} $
и так далее... - полноценная биекция.

Ведь, например для множеств $A = \{1; 2; 3\}$ и $B = \{1; 2; 3\}$ отображение $\varphi :$
$ 1_{A} \rightarrow 2_{B} $
$ 2_{A} \rightarrow 3_{B} $
$ 3_{A} \rightarrow 1_{B} $
будет биекций: оно сюръективно (задействованы все элементы множества В) и инъективно: если $ \varphi (x_{1}) = \varphi (x_{2}) $, то простым перебором убеждаемся, что $x_{1} = x_{2}$

-- 26.06.2012, 17:33 --

samson4747 в сообщении #589243 писал(а):

Если хотите разобраться с данной темой(насколько понимаю Вы изучаете: Мощность множеств), советую книжечку:
Очан Ю.С. Сборник задач и теорем по теории функций действительного переменного. М.: Просвещение, 1981.

У меня "Основы теории множеств": микс из операций над множествами, мощностей и взаимно однозначных отображений :)

Буду очень признателен, если заглянете и в эти две темы:
topic60336.html
topic60303.html

[мат-ламер]

По поводу третьей задачи. Отрезок надо разбить на две части - счётную, куда должны входить и концы отрезка, и несчётную.

-- Вт июн 26, 2012 20:57:44 --

Аналогично задачи 4 и 5, а также задачи 2 и 4 по первой ссылке (окружности и сферы).

[Asker Tasker]

мат-ламер в сообщении #589409 писал(а):

По поводу третьей задачи. Отрезок надо разбить на две части - счётную, куда должны входить и концы отрезка, и несчётную.

В принципе я так и пытался делать. Мне кажется, что получилось. Несчётную часть переводим саму в себя, а счётных будет две: одна с "дополнительными точками", одна - исходная "маленькая". Между ними, расположив элементы каждой в последовательность мгновенно получаем биекцию. Вы это имели в виду?

Я постарался для случая интервал-отрезок этот способ поаккуратнее расписать в предыдущем сообщении (этой же темы). Буду рад, если кто-то скажет, правильно ли расписано :)

[мат-ламер]

Asker Tasker в сообщении #589411 писал(а):

". Между ними, расположив элементы каждой в последовательность мгновенно получаем биекцию. Вы это имели в виду?

Да. Но, между любыми двумя счётными множествами существует биективное соответствие. Не надо ничего располагать.

[Asker Tasker]

Уточню свой ответ: как я понял задачи, необходимо, указать ЯВНОЕ соответствие, а его, мне кажется, удобнее делать как раз расположив элементы в последовательность (по крайней мере в приведённых выше задачах). То есть ответ "два множества равномощны, поэтому по определнию между ними можно построить биекцию" не подходит