ВТФ и дискретная геометрия

[serval]

Обозначилась занятная тема.
Ясно, что гиперплоскость имеющая целый вектор нормали будет иметь и целый базис.
Если ВТФ верна, то не во всякой гиперплоскости, имеющей целый вектор нормали, окружность радиуса $R=\sqrt 3$ пересечет целые точки.

[serval]

(Оффтоп)

Обозначился план доказательства. В общем, все сводится к симметриям гиперкуба. Есть наглядная аналогия с кубом. Как всегда, думать интересно, а проверять придуманное скучно.

PAV:

замечание за подъем темы малосодержательным сообщением

[serval]

Приношу извинения и попробую расшифровать.

Все середины ребер 3-мерного куба можно покрыть плоскостью $\vec n_{31}=(1,0,0)$ дважды повернув ее на угол $\frac{\pi}{2}$. Либо, их же можно покрыть плоскостью $\vec n_{32}=(1,1,1)$ трижды повернув ее на угол $\frac{\pi}{3}$. Первая из плоскостей проходит через центр куба и центры противолежащих ребер, вторая - через центр куба и центры прилежащих ребер. Третьего варианта нет.
Предполагается, что все центры 3-мерных граней N-мерного куба также можно покрыть двумя плоскостями - $\vec n_{N1}=(1,2,3,\dots)$ и $\vec n_{N2}=(1,2^2,3^2,\dots)$ повернув их на соответствующие углы нужное число раз.
Если же этих плоскостей окажется недостаточно, нужно убедиться, что среди векторов нормалей покрывающих плоскостей нет векторов вида $\vec n=(1,2^k,3^k,\dots)$ .

[serval]

Я запостил просьбу вот сюда http://dxdy.ru/topic49201.html поскольку здесь мне не отвечают. Жду. Как разберусь - выложу результаты. Во всяком случае, алгоритм (вроде бы) обозначился.

[serval]

Цитата:

Если же этих плоскостей окажется недостаточно

Сегодня подумал, что доказательство как раз и должно состоять в том, что после пересчета симметричных плоскостей число лежащих в них точек должно в точности совпасть с числом точек требуемого вида.

[serval]

Есть вопрос.
Обозначим грань куба как $ABCD$.
Ребро $AB$ имеет на этой грани $1$ противолежащее ему ребро $CD$ и по $1$ прилежащему ребру в каждой из соединяемых им вершин - $AD$ в $A$ и $BC$ в $B$.
Далее рассмотрим гиперкуб размерности $N$.
Как определить прилежащие (к выбранному) ребра (вроде) понятно. А как определить противолежащие?
Интересно посмотреть на простых примерах, например, при $N=4$ или $5$.

У меня есть сильное подозрение в том, что выполнение равенства в условии ВТФ лишь при $2$ значениях степени выражает как раз то обстоятельство, что грани гиперкуба могут либо прилежать либо противолежать друг другу и третьего взаиморасположения не имеют.

Осталось, "всего лишь" , показать идентичность всех маршрутов через грани каждого типа.

Кстати, на привычном всем кубе можно увидеть наглядную иллюстрацию.

[serval]

Пытаюсь поймать механизм обхода на обычном кубе. Вот что получается.

Задача: Найти все плоские маршруты (т.е. такие, которые полностью лежат в сечении куба некоторой плоскостью проходящей через его центр) проходящие через центры его ребер.
Для удобства рассмотрим куб с центром в начале координат и ребрами, параллельными координатным осям и имеющими длину $2$.

Все такие маршруты распадаются на $2$ типа:

Тип 1. Проходящие через центры противолежащих ребер. Всего таких маршрутов $3$, каждый из них обходит по $4$ точки, каждая точка принадлежит только $1$ маршруту.

Тип 2. Проходящие через центры прилежащих ребер. Всего таких маршрутов $4$, каждый из них обходит по $6$ точек, каждая точка принадлежит $2$ маршрутам.

Начать маршрут просто - точку старта можно выбрать произвольно. Центр прилежащего либо противолежащего ребра тоже несложно найти. А как двигаться дальше?

Оказывается, что на маршрутах разных типов действует разная арифметика для покоординатного сложения последовательных точек маршрута:

Тип 1. $1+1=1+(-1)=-1,\ (-1)+(-1)=(-1)+1=1$ суммы $1+0,\ 0+1,\ (-1)+0,\ 0+(-1)$ отсутствуют.
Тип 2. $1+1=(-1)+(-1)=0,\ 1+0=0+(-1)=-1,\ 0+1=(-1)+0=1$ суммы $1+(-1),\ (-1)+1$ отсутствуют.

Таким образом, зная координаты $2$ последовательных точек можно однозначно вычислить координаты следующей в маршруте точки.

Интересно, работает ли эта арифметика в высших размерностях? Если работает, то на некотором шаге маршрут, так же как на кубе, замкнется.

[ishhan]

А что скажете по поводу геометрической фигуры с мультипликативной и аддитивной записью объёма в виде:
$V=3(x+y)(z-x)(z-y)=(x+y-z)^3-x^3-y^3+z^3$
P.S.учился в школе №31 жил в глубоком детстве на "круглом переулке" (из деклассированных элементов в репрессированной семье)в татарском районе привет землякам:)

[serval]

ishhan, здравствуйте.
Мне нечего сказать. Я не вижу здесь связи с моей темой.

Спроецировал $3$-грань $4$-куба в трехмерие. Получился тот же многогранник, что и на втором рисунке моего прошлого поста.

Возникло затруднение - с прилежащими ребрами, более ли менее, понятно, а противолежащих оказалось аж $3$ вида. Благо, в высших размерностях новых уже не прибавится.

[ishhan]

serval в сообщении #588922 писал(а):

Спроецировал $3$-грань $4$-куба в трехмерие. Получился тот же многогранник, что и на втором рисунке моего прошлого поста.

Как то у Вас всё закручено, почитал Вашу тему более внимательно и ни чего к сожалению, не понял.
Я то Вам привёл простейший рисунок иллюстрирующий смысл ВТФ при $n=3.$
На рисуночке представлен плоско-выпуклый двенадцатигранник c осью симметрии 3-го порядка и топологией тора объём которого задаётся формулой$V=3(X+Y)(Z-X)(Z-Y)$ .
Геометрический смысл ВТФ3 заключается в том, что объём этого двенадцатигранника равен объёму куба со стороной $X+Y-Z$
Это то, что остаётся от куба со стороной $Z$ после того как из него вырезали два кубика со сторонами $Y$ и $X$ симметрично главной диагонали при условии что$ X+Y-Z>0$
Извиняюсь, кажется не туда попал

[serval]

(Оффтоп)

ishhan, тогда к этому нечего добавить. Переходите к высшим степеням
Я ничего не понимаю в складывании кубиков - я обхожу $3$-мерные грани $N$-мерного гиперкуба. И то ощупью.

[ishhan]

serval в сообщении #589020 писал(а):

(Оффтоп)

ishhan, тогда к этому нечего добавить. Переходите к высшим степеням
Я ничего не понимаю в складывании кубиков - я обхожу $3$-мерные грани $N$-мерного гиперкуба. И то ощупью.

Понятно что на ощупь, но...
Как существо двухмерного мира видит куб?
Только в плоскости сечения и "со своей точки зрения".
И тогда куб может быть треугольником, четырехугольником, а также пяти и шестиугольником.
Про высшие степени например $n=5$
$(x+y-z)^5-x^5-y^5+z^5=5(x+y)(z-x)(z-y)(x^2+y^2+z^2+xy-zx-zy)$
Что можно сказать про двухмерную грань$ (x^2+y^2+z^2+xy-zx-zy)$ пяти мерного куба, а
про трёхмерную грань с объёмом $(x+y)(z-x)(z-y) $?

[serval]

Только что я понял условие задачи, которую решаю.
Вот оно:

Пусть имеются $6$ одинаковых жестких квадратов. Их можно стянуть в жесткий куб (такой, что каждая грань будет зафиксирована) одним плоским витком нити через центры ребер куба.
(Ни через центры граней, ни через вершины этого сделать невозможно).

Задача: Найти все различные (с точностью до симметрии) плоские стягивающие витки для гиперкуба размерности $N$.

Обязательное условие: Виток должен проходить через центры $3$-мерных граней.

Пояснение условия: Размерность грани равна числу членов в равенстве из условия ВТФ. К примеру, если мы будем искать стягивающий виток проходящий через центры $4$-мерных граней, то, тем самым, будем решать задачу на выполнение равенства $x^n+y^n+z^n=t^n$.

[ishhan]

serval в сообщении #589158 писал(а):

Только что я понял условие задачи, которую решаю.

Советую Вам для начала изучить книгу:
Д.Гильберт "Наглядная геометрия"
И после этого уже утверждать, что Вы поняли условие задачи которую решаете

[serval]

(Оффтоп)

А что конкретно из этой книги? Я купил ее в возрасте 13 лет в Севастополе и она, как раз, лежит передо мной

Сейчас я решаю именно ту задачу, которую сформулировал. Не исключаю, и даже скорее всего, что в процессе решения условие задачи изменится. Но сейчас оно таково.