Движение тела переменной массы. Вывод уравнения Мещерского

[Sledovatel]

Записываем второй закон Ньютона ($m$ - масса тела (ракеты), $\vec{v}$ - её скорость, $dm$ и $d \vec{v}$ - их изменение за некоторое время, $dm_{gas}$ - масса истечённых за некоторое время газов, $\vec{v_{gas}}$ - их скорость):
$(m+dm)(\vec{v}+d \vec{v})+dm_{gas} v_{gas}-m \vec{v} = \vec{F} dt$.
Раскрываем скобки, учитываем то, что $dm_{gas} = -dm$:
$m d \vec{v} = (\vec{v_{gas}}-\vec{v}) dm +\vec{F} dt$.

Получается, что мы здесь использовали то, что $dm d \vec{v} = 0$. Но почему это так?
Заранее спасибо за объяснение.

[phys]

Бесконечно малая величина большего порядка, чем остальные, посему пренебрегаем. А нулю она вобщем то и не равна.

[Sledovatel]

А из чего следует, что она бесконечно малая величина большего порядка, чем остальные?

[phys]

Ну $dv$ у вас бесконечно малая, хотя тут можно пренебречь математической строгостью я думаю, и сказать что это просто "очень маленькое, но конечное изменение скорости", dm тоже "очень маленькое, но конечное изменение массы", если умножить очень маленькое на очень маленькое, то получиться что то настолько малое, что им можно пренебречь.

(Оффтоп)

Это такое объяснение на пальцах, щас придут строгие физики и математики, и будут меня долго ругать. А я им буду тыкать учебником сопромата, где на каждой странице такие вот обоснования.

[Sledovatel]

Спасибо за помощь.

[Fafner]

Sledovatel в сообщении #588864 писал(а):

Записываем второй закон Ньютона ($m$ - масса тела (ракеты), $\vec{v}$ - её скорость, $dm$ и $d \vec{v}$ - их изменение за некоторое время, $dm_{gas}$ - масса истечённых за некоторое время газов, $\vec{v_{gas}}$ - их скорость):
$(m+dm)(\vec{v}+d \vec{v})+dm_{gas} v_{gas}-m \vec{v} = \vec{F} dt$.
Раскрываем скобки, учитываем то, что $dm_{gas} = -dm$:
$m d \vec{v} = (\vec{v_{gas}}-\vec{v}) dm +\vec{F} dt$.

Получается, что мы здесь использовали то, что $dm d \vec{v} = 0$. Но почему это так?
Заранее спасибо за объяснение.

Разве в первом множителе, не надо писать знак $-$ вместо $+$? И $dm=dm_{gas}$? Тогда получится:

$$(m-dm_{gas})(\vec{v}+d \vec{v})+dm_{gas}\vec v_{gas}-m \vec{v} = \vec{F} dt;$$

$$m\vec {v}+md\vec v-\vec vdm_{gas} -dm_{gas}d\vec v +dm_{gas}\vec v_{gas}-m\vec v =\vec F dt; $$ $$ md\vec v-\vec vdm_{gas} -dm_{gas}d\vec v +\vec v_{gas}dm_{gas}=\vec F dt; $$

И в итоге, уравнение Мещерского:

$$ md\vec v+dm_{gas}(\vec v_{gas}-\vec v)=\vec Fdt.$$

Или где-то есть ошибка?

[svv]

$dm$ относится к массе ракеты, а $dm_{\text{gas}}=-dm$. Подставив это в Ваше уравнение, получим такое, в которое входит только масса ракеты. Это удобно.

[Fafner]

svv в сообщении #588957 писал(а):

$dm$ относится к массе ракеты, а $dm_{\text{gas}}=-dm$. Подставив это в Ваше уравнение, получим такое, в которое входит только масса ракеты. Это удобно.

$m$ - масса ракеты;
$dm$ - изменение масы ракеты в полете;
$dm_{gas}$ - изменение массы топлива ракеты в полете.
Так как считается, что кроме массы топлива в полете (ну еще ступеней, в случае многоступенчастой космической ракеты) масса не меняется, то разве не получается $dm=dm_{gas}$? Или почему $dm=-dm_{gas}$?

Аа, вроде понял)) с толку сбило то, что в первом множителе стояло $m+dm$ - не мог понять, почему масса увеличивается, если наоборот должна уменьшатся)) Но такая замена, $dm=-dm_{gas}$ при записи уравнения с $m+dm$ разве не будет искуственной, и усложняющей понимание?

[whiterussian]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: не указана.

[ewert]

phys в сообщении #588890 писал(а):

если умножить очень маленькое на очень маленькое, то получиться что то настолько малое, что им можно пренебречь.

(Оффтоп)

Это такое объяснение на пальцах, щас придут строгие физики и математики, и будут меня долго ругать. А я им буду тыкать учебником сопромата, где на каждой странице такие вот обоснования.

Вот я щас набегу и обругаю... А, нет, неохота.

Это -- стандартный физический жаргон. Математически он обосновывается тем, что отношение $\dfrac{\Delta m\Delta v}{\Delta t}$ стремится к нулю при $\Delta t\to0$. Просто потому, что отношение одной (любой) из дельт в числителе к дельте в знаменателе стремится к константе, а другая дельта в числителе стремится к нулю. При этом, конечно, неявно предполагается, что решения гладкие. У физиков подобные вульгаризации в крови, и поскольку у них сидит в подкорке (не высовываясь на поверхность) возможные при необходимости их оправдания -- постольку физики и не ошибаются.

[Munin]

ewert в сообщении #588992 писал(а):

У физиков подобные вульгаризации в крови, и поскольку у них сидит в подкорке (не высовываясь на поверхность) возможные при необходимости их оправдания -- постольку физики и не ошибаются.

Не-е-е. Физики не ошибаются по другой причине: они почему-то угадывают, что природа тоже следует таким вульгаризациям. Вот если природа перестанет, они сразу зачешутся.

[Oleg Zubelevich]

Sledovatel
почитайте учебник по механике Ю.Ф. Голубева или Айзермана если хотите разобраться до конца. В теме "движение систем переменного состава" имеются подводные камни

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #589086 писал(а):

В теме "движение систем переменного состава" имеются подводные камни

В смысле, закон сохранения импульса не всегда работает?

[Sledovatel]

ewert в сообщении #588992 писал(а):

Математически он обосновывается тем, что отношение $\dfrac{\Delta m\Delta v}{\Delta t}$ стремится к нулю при $\Delta t\to0$. Просто потому, что отношение одной (любой) из дельт в числителе к дельте в знаменателе стремится к константе, а другая дельта в числителе стремится к нулю. При этом, конечно, неявно предполагается, что решения гладкие.

Значит, можно устранять это слагаемое только после того, как разделим уравнение на $\Delta t$?

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #589102 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #589086 писал(а):

В теме "движение систем переменного состава" имеются подводные камни

В смысле, закон сохранения импульса не всегда работает?

например, вот уравнение Мещерского

$$m\dot v=F+\dot m w$$

$w$ -- относительная средняя скорость, векторы не ставлю и так понятно. Если $\dot m\equiv 0$ тогда $m\dot v=F$? Оказывается, вообще говоря, нет. Т.е. уравнение Мещерского верно при условии $\dot m\ne 0$.