Не непрерывный линейный функционал.

[SergNarrow]

Здравствуйте!
Подскажите в каком направлении прилагать усилия для доказательства следующего факта:
Пусть $E$ - топологическое линейное пространство(далее ТЛП). Если $E$ - бесконечномерно и нормируемо, то на нём существует не непрерывный линейный функционал (воспользуйтесь существованием базиса Гамеля).

Никак понять не могу, как здесь применить базис Гамеля. Я пришёл к выводу, что надо показать существование послед., сходящейся по норме к нулю, но при этом функционал не стремиться к нулю на этой последовательности, но как здесь использовать базис Гамеля?

Это упражнение из Колмогорова, на странице 189 в последнем издании. (Глава 4 параграф 1)

[bot]

А какие проблемы? Для определения линейного преобразование достаточно знать его действие на базисных элементах. Сложно что ли из базисных элементов (делением на подходящие числа) создать последовательность, сходящуюся к нулю? Вот на них и зададим преобразование как душа пожелает.

[SergNarrow]

Проблемы всё же есть. Сперва прошу прошения,что целый месяц не смотрел на ваш ответ, за зачётами время пролетает незаметно... Теперь к проблемам.

Примеров не непрерывных функционалов в бесконечномерных нормированных пространствах нашёл в книжках и в интернете достаточно много. Везде используется последовательность, сходящаяся к нулю по норме. Здесь вы абсолютно правы. Но в упражнении предложено использовать базис Гамеля. Я, к сожалению, не могу привести ни одного элемента базиса Гамеля в произвольном бесконечномерном нормированном пространстве. Отсюда и вашим советом я воспользоваться не могу.

Для функции я нашёл интересный пример вот по этому адресу:
[url]http://ru.wikipedia.org/wiki/Базис#.D0.9F.D1.80.D0.B8.D0.BC.D0.B5.D1.80.D1.8B[/url]
Базис Гамеля и разрывная функция.
И постарался использовать его в моём случае. Вот начало рассуждений:

Возьмём произвольные элементы $x,y \in E$, где $E$ - нормированное пространство.
Требуется построить функционал, для которого верно:

$ 1) f(x+y) = f(x) + f(y)$

2) он не является непрерывным(в нуле)

Рассмотрим разложение элементов по базису Гамеля: $x = x_\alpha_1 + x_\alpha_2 + .. + x_\alpha_k $, $y = y_\alpha_1 + y_\alpha_2 + .. + y_\alpha_n $, где $k,n$ - произвольные конечные и они зависят от элемента. Ввиду единственности разложения элементов по базису Гамеля, разложение суммы по базису можно представить $x+y = x_\alpha_1 + x_\alpha_2 + .. + x_\alpha_k + y_\alpha_1 + y_\alpha_2 + .. + y_\alpha_n$. Отсюда, первое,что приходит в голову, так это использовать в качестве функционала сумму норм элементов из разложения, т.е.: $f(\cdot) = \sum\limits_{i=1}^p \parallel\cdot_\alpha_i\parallel$, где $p$ - произвольное конечное и зависит от элемента. Первому из предъявленных требований наш функционал удовлетворяет: для приведённых ранее $x,y$ мы получим: $f(x+y) = \parallel x_\alpha_1\parallel +\parallel x_\alpha_2\parallel + .. + \parallel x_\alpha_k\parallel + \parallel y_\alpha_1\parallel + \parallel y_\alpha_2\parallel + .. + \parallel y_\alpha_n\parallel $, а в свою очередь $f(x) = \parallel x_\alpha_1\parallel +\parallel x_\alpha_2\parallel + .. + \parallel x_\alpha_k\parallel $, $f(y) = \parallel y_\alpha_1\parallel + \parallel y_\alpha_2\parallel + .. + \parallel y_\alpha_n\parallel $.

В статье с вики проскакивает мысль,что базис Гамеля там не простой, а является базисом Гамеля действительных чисел над полем рациональных чисел. Вот. В полях, к сожалению, я не силён,(хотя мысль в статье я понял) но мне кажется,что провернуть такую же идею в произвольном нормированном пространстве не есть просто.

Ещё один шаг, на котором я остановился, заключается в следующем - взять произвольную последовательность,сходящуюся к нулю по норме и рассмотреть функционал(описанный выше) на элементах этой последовательности. Так как $\parallel x_\alpha_1 + x_\alpha_2 + .. + x_\alpha_k \parallel \le \parallel x_\alpha_1\parallel +\parallel x_\alpha_2\parallel + .. + \parallel x_\alpha_k\parallel $. И это справедливо для каждого элемента последовательности. Где левая часть неравенства есть разложение элемента по базису Гамеля. А правая есть значение функционала от элемента последовательности.Но, так как элементы последовательности по норме стремятся к нулю, то и левая часть неравенства стремиться к нулю для любого элемента последовательности. Отсюда, если отыскать условия, при которых неравенство выполняется строго, то мы получим,что функционал не будет являться непрерывным.

Извиняюсь за вольность в рассуждениях(..если отыскать условия,то и..), но я позволил себе её,только по тому,что познания мои не глубоки, но гипотетически может быть у базиса Гамеля есть какое нибудь свойство, которое позволяет говорить о строгом выполнении неравенства, про которое я не догадываюсь. Иначе(если это не так, либо что-то из написанного не верно) - прошу любого Знающего данную тематику наставить на путь истинный и благодарю за прочтение написанного. И за возможное наставление.

[lyuk]

Линейный функционал полностью определяется своими значениями на базисе Гамеля, причем эти значения можна выбрать произвольным образом. Используя это постройте неограниченный функционал.

[SergNarrow]

Благодарю Вас за подсказку!
Ответ на вопрос я нашёл в теме:
topic59522.html
Уважаемый Padawan привёл пример.

Padawan в сообщении #580756 писал(а):

По крайней мере в бесконечномерном нормированном пространстве всегда существует неограниченный линейный функционал. Берем базис Гамеля. Пусть $(e_n)_{n=1}^\infty$ -- бесконечная последовательность векторов базиса Гамеля. Можно считать, что $\|e_n\|=1$ для всех $n=1,2,\ldots$. Линейный функционал однозначано задается теми значениями, которые он принимает на базисных векторах. Функционал $f$ такой, что $f(e_n)=n$ будет неограниченным.

Уважаемые модераторы. Не закрывайте, пожалуйста тему. Есть ещё один дополнительный вопрос(по этой теме), который появиться в ближайшие несколько дней.

[SergNarrow]

Собственно дополнительный вопрос. Доказать следующее утверждение:
Пусть в $E$ существует определяющая система окрестностей нуля, мощность которой не превосходит алгебраической размерности пространства $E$, (т.е. мощности базиса Гамеля в $E$). Тогда на $E$ существует не непрерывный линейный функционал.

Я так понимаю,что это логическое развитие предыдущего утверждения, так как мощность базиса Гамеля в бесконечномерном, нормированном пространстве несчётна. И в свою очередь в нормированном пространстве выполняется первая аксиома счётности (т.е. существует счётная определяющая система окрестностей нуля). Отсюда получается,что нормированное пространство попадает под сформулированные условия и на нём существует не непрерывный линейный функционал, что было показано в теме ранее.

В свою очередь, если рассмотреть ядерно-выпуклую топологию на том же самом пространстве,то мощность определяющей системы окрестностей в ней - несчётна. Значит данный случай не попадает под сформулированные условия. И при этом известно,что всякий линейный функционал непрерывен относительно ядерно-выпуклой топологии.

Значит существует какая-то граница, которая определяется мощностью определяющей системы окрестностей, после которой нельзя привести, по тем или иным причинам, пример не непрерывного линейного функционала. А всё что до этой границы - пожалуйста - должен быть пример не непрерывного линейного функционала.

Но всё это болтовня. Надо доказать строго - пока не получается. Плиз хэлп.

Есть некоторая мысль, которая заключается в следующем: использовать в качестве ограниченного множества сходящуюся последовательность в ТЛП, по поводу этого создал отдельную тему: http://dxdy.ru/topic60127.html

[Oleg Zubelevich]

SergNarrow в сообщении #586651 писал(а):

мощность базиса Гамеля в бесконечномерном, нормированном пространстве несчётна.

необязательно

[SergNarrow]

Да, честно говоря, у меня возникла мысль написать,что оно Банахово, но почему-то я не написал - виноват. А можно Вас попросить привести пример нормированного бесконечномерного пространства, в котором есть счётная определяющая система окрестностей нуля(раз пространство нормировано, значит таковая существует) и есть счётный базис Гамеля?

[Oleg Zubelevich]

SergNarrow в сообщении #586651 писал(а):

Собственно дополнительный вопрос. Доказать следующее утверждение:
Пусть в $E$ существует определяющая система окрестностей нуля, мощность которой не превосходит алгебраической размерности пространства $E$, (т.е. мощности базиса Гамеля в $E$). Тогда на $E$ существует не непрерывный линейный функционал.

Вопрос особенно легко решается если топология пространства задана счетным набромом полунорм $\|\cdot\|_i,\quad i\in \mathbb{N}$. Возьмем счетное подмножество элементов базиса Гамеля $\{e_i\}$ тогда множество

$$\Big\{\frac{e_k}{\sup\{1,\sum_{j=1}^k \|e_k\|_j\}}\Big\}_{k\in\mathbb{N}}$$

ограничено

[SergNarrow]

Спасибо большое, будем разбираться!