предел синуса факториала

[Munin]

Shtorm в сообщении #586526 писал(а):

То есть тогда исходя из Ваших рассуждений надо было написать:

$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt{n}\sin(\frac {n!}{\pi} 180)$

Скорее,
$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt{n}\sin(n!^{\circ}),$
где ${\ldots}^{\circ}$ определяется, как сказал arseniiv.

[worm2]

Кстати, я правильно понимаю, что вот это должно быть вообще открытой проблемой: "существует ли такое рациональное $q$, что последовательность $\{\sin qn!\}$ сходится?"

[Shtorm]

Munin в сообщении #586559 писал(а):

Shtorm в сообщении #586526 писал(а):

То есть тогда исходя из Ваших рассуждений надо было написать:

$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt{n}\sin(\frac {n!}{\pi} 180)$

Скорее,
$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt{n}\sin(n!^{\circ}),$
где ${\ldots}^{\circ}$ определяется, как сказал arseniiv.

arseniiv написал

${}^{\circ} = \frac{\pi}{180}$.

Если это подставить в Вашу формулу, то получится

$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt{n}\sin(n!\frac{\pi}{180}),$

И выйдет опять не так как надо

[Munin]

worm2 в сообщении #586580 писал(а):

Кстати, я правильно понимаю, что вот это должно быть вообще открытой проблемой: "существует ли такое рациональное $q$, что последовательность $\{\sin qn!\}$ сходится?" :?:

А иррациональности $\pi$ недостаточно, чтобы закрыть эту проблему?

[ИСН]

Нет, потому что см. выше тот прикол с $e$.

[Munin]

Не нашёл.

Подумайте, как $\pi$ записывается в системе счисления, где 1-й знак после запятой - 2-ичная цифра, 2-й - 3-ичная, и т. д. $k$-й - по основанию $k+1$?

[Maslov]

Может это и не сильно облегчит задачу, но хочу заметить, что для решения исходной проблемы не надо доказывать отсутствие предела $\sin(n!)$ (или, что то же самое, $\{n!/2\pi\}$); достаточно доказать, что этот предел не равен 0.

-- Вт июн 19, 2012 01:33:07 --

Munin в сообщении #586636 писал(а):

Не нашёл.

Скорее всего, речь идет о том, что $\lim\limits_{n \to \infty}\{e\,n!\} = 0$

[Munin]

Не знаком с таким пределом.

[Maslov]

Это следует из

$e = \sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac 1 {k!}$

[Munin]

Не вижу, каким образом следует.

[Maslov]

$\{e \cdot 2!\} = \{ 2 + 2 + 1 + \dfrac 1 3 + \dfrac 1 {3 \cdot 4} + ... \} = \dfrac 1 3 + \dfrac 1 {3 \cdot 4} + ...$

$\{e \cdot 3!\} = \dfrac 1 4 + \dfrac 1 {4 \cdot 5} + \dfrac 1 {4 \cdot 5 \cdot 6}+...$

$\{e \cdot 4!\} = \dfrac 1 5 + \dfrac 1 {5 \cdot 6} + \dfrac 1 {5 \cdot 6 \cdot 7}+...$
...
$\{e \cdot 1000!\} = \dfrac 1 {1001} + \dfrac 1 {1001 \cdot 1002} + \dfrac 1 {1001 \cdot 1002 \cdot 1003}+...$
...

[Munin]

А, фигурные скобки - дробная часть...

[Shtorm]

arseniiv в сообщении #586542 писал(а):

Нет формул, где справа что-то ожидаемое. А так можно разных много с данной левой частью наделать. Например, для $\sin\alpha\beta$ по биному Ньютона разложить $(\cos\alpha + i\sin\alpha)^{\beta}$ и взять мнимую часть. Подумаешь, ряд.

Так это же можно так записать:

$(\cos\alpha + i\sin\alpha)^{\beta}=(e^{i\alpha})^{\beta}=e^{i\alpha\beta}$

И опять получим градус умноженный на градус, что не имеет никакого физического, технического, экономического и здравого логического смысла. Или я не прав?

[Sonic86]

Shtorm в сообщении #587215 писал(а):

И опять получим градус умноженный на градус, что не имеет никакого физического, технического, экономического и здравого логического смысла. Или я не прав?

В математике смысл быть не обязан. Просто формальные конструкции. Им иногда ставят в соответствие другие предметы, в том числе эмпирические, но это необязательно.
Вот трансцендентное лиувиллево число: $\beta=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2^{n!}}$. Оно нужно, а смысла в нем пока нет. Есть проблемы?

В формуле вообще градусов нет - выкиньте их из головы, они в задаче не нужны
$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...$
$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+..., x\in\mathbb{R}$ - тут нет никаких градусов

[Munin]

По-моему, тут проблема другая. Человек не понимает, что если величина $\alpha\beta$ интерпретируется как градусы, то это вовсе не значит, что и $\alpha,$ и $\beta$ - градусы. Даже наоборот, при произведении градусов на градусы получаются градусы во второй степени (но не квадратные градусы! :-) ).