предел синуса факториала

[Shtorm]

Sonic86 в сообщении #586066 писал(а):

.....
Вообще есть формулы кратных углов (т.е. только для целых коэффициентов)
.....

Ну, это я знаю. Это здесь не поможет, у нас же углы-то будут убывать один за другим.

[xmaister]

(Оффтоп)

А верно ли, что последовательность $\frac{n!}{2\pi }$ равномерно распределена по модулю 1? Я пытался оценить тригонометрическую сумму $\sum\limits_{n=0}^{N}e^{ i h n! }$, для положительных $h$, но не получилось.

[Shtorm]

Shtorm в сообщении #586064 писал(а):

А нет у нас вообще формул синуса произведения углов?

Типа $\sin(\alpha\cdot\beta\cdot\gamma\cdot...)=...$

А то бы применили к $\sin(n!)$ и глядишь, что-нибудь бы вылезло

Я недавно понял, что несколько некорректно сформулировал вопрос. Ведь формулы тригонометрии должны одинаково действовать как на радианы, так и на градусы. И если под синусом будет стоять произведение градусов, то что это будет за величина? Ерунда какая-то. Соответственно переносим это всё и на радианы. Так что если и писать формулу

$\sin(\alpha_{1}\cdot\alpha_{2}\cdot\alpha_{3}\cdot...)=...$

То считать, что $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ - это составные множители угла.

То есть $\alpha_{1}\cdot\alpha_{2}\cdot\alpha_{3}\cdot...=\alpha$, где $\alpha$ - это конкретный угол.

Ну, и разложенный таким образом угол, можно подставлять в любые формулы тригонометрии. Ну и соответственно для синуса факториала рассмотреть это всё.

[Sonic86]

Вопрос был корректный.
Градусы не нужны.

[Shtorm]

Sonic86 в сообщении #586421 писал(а):

Вопрос был корректный.
Градусы не нужны.

А чем же объяснить тот факт, что таких формул в тригонометрии нет?

[Sonic86]

Shtorm в сообщении #586424 писал(а):

А чем же объяснить тот факт, что таких формул в тригонометрии нет?

Каких именно? Вычислить $\sin n!$ для любого $n$? Если да, то она слишком частная и слишком специальная и слишком сложная - зачем оно всем?

[Shtorm]

Sonic86

Нет, я имел ввиду, что вот таких формул нет в тригонометрии:

$\sin(\alpha\cdot\beta\cdot\gamma\cdot...)=...$

[ex-math]

(Оффтоп)

xmaister
Вряд ли есть оценка, слишком быстро растет функция.

[nnosipov]

(Оффтоп)

ex-math, а есть ли какие-нибудь другие функции, кроме полиномов, про которые что-нибудь содержательное известно?

[Munin]

nnosipov в сообщении #585560 писал(а):

worm2 в сообщении #585539 писал(а):

А что, если здесь угол измеряется в градусах? :mrgreen:

Это слишком сложно :-) Скорее в знаменателе не $n$, а $n^2$ --- это более соответствует стилю остальных задач.

А мне почему-то показалось, что в знаменателе подразумевалось $n!$...

Shtorm в сообщении #586407 писал(а):

Я недавно понял, что несколько некорректно сформулировал вопрос. Ведь формулы тригонометрии должны одинаково действовать как на радианы, так и на градусы. И если под синусом будет стоять произведение градусов, то что это будет за величина? Ерунда какая-то. Соответственно переносим это всё и на радианы.

Не-е-ет. Если там градусы, то очень скоро факториал станет кратен 360, и все числа окажутся кратными развёрнутому углу. А вот с радианами ничего подобного не произойдёт.

[ex-math]

(Оффтоп)

nnosipov
Про многие функции известно. Но существующие методы используют их высокую гладкость.
Но даже в этом случае самая быстрорастущая, по-моему, $\exp(\ln^c x)$ при любом $c<3/2$, сумма оценивается методом Виноградова.

[Shtorm]

Munin в сообщении #586494 писал(а):

Не-е-ет. Если там градусы, то очень скоро факториал станет кратен 360, и все числа окажутся кратными развёрнутому углу. А вот с радианами ничего подобного не произойдёт.

Ну само собой! Но в исходном-то примере, там перед синусом стоит $\sqrt{n}$. И если мы будем брать градусы, то придётся извлекать корни из градуса - а это не допустимо. Или я не прав?
А я-то имел ввиду, что такие формулы тригонометрии как основное тригонометрическое тождество, тригоном. функции кратных углов, формулы приведения, тригоном функции суммы и разности углов, ф. понижения степени и т.д. и т.п. - одинаково действуют, что с углами в радианах, что с углами в градусах и никоим образом не включал в данное утверждение факториал. И соответственно, без всякого факториала, формула вида $\sin(\alpha\cdot\beta\cdot\gamma\cdot...)=...$, где альфа, бета, гамма - углы, оказывается полной ерундой. Просто с точки зрения тригонометрии, без всякого факториала. Ведь и в факториале перемножаются между собой не углы, а составные множители угла.

[Munin]

Shtorm в сообщении #586510 писал(а):

И если мы будем брать градусы, то придётся извлекать корни из градуса - а это не допустимо.

Нет, я так понимаю, корни берутся из числа. А значок градуса к этому числу пририсовывается только тогда, когда это число стоит под синусом.

[Shtorm]

Munin в сообщении #586516 писал(а):

Нет, я так понимаю, корни берутся из числа. А значок градуса к этому числу пририсовывается только тогда, когда это число стоит под синусом.

Ну вот пример:

$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt{n}\sin{n!}$

Если первое $n$ в числах, а под синусом - уже в градусах, тогда получается n не равно n. Это уже тогда к вопросу о том, какую опечатку допустили составители в этом примере.
То есть тогда исходя из Ваших рассуждений надо было написать:

$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt{n}\sin(\frac {n!}{\pi} 180)$

[arseniiv]

Shtorm в сообщении #586439 писал(а):

Нет, я имел ввиду, что вот таких формул нет в тригонометрии:

$\sin(\alpha\cdot\beta\cdot\gamma\cdot...)=...$

Нет формул, где справа что-то ожидаемое. А так можно разных много с данной левой частью наделать. Например, для $\sin\alpha\beta$ по биному Ньютона разложить $(\cos\alpha + i\sin\alpha)^{\beta}$ и взять мнимую часть. Подумаешь, ряд.

Shtorm в сообщении #586510 писал(а):

И если мы будем брать градусы, то придётся извлекать корни из градуса - а это не допустимо. Или я не прав?

Можно понимать градус как константу (на которую только и делают что умножают): ${}^{\circ} = \frac{\pi}{180}$.