Связь между множествами и их элементами

[Asker Tasker]

Немного завис на следующем вопросе.
Два множества называют равными, если они состоят из одинаковых элементов (то есть каждое является подмножеством другого). Поскольку в пустом множестве элементов, по определению, нет вообще, с ним у меня возникли небольшие проблемы.

1) Насколько я понимаю, равенство $ \varnothing = \varnothing $ следует просто из того, что мы постулируем равенство каждого объекта самому себе, ведь иначе странно было бы жить.


2) А вот как доказать, что $\varnothing \neq \left\{ \varnothing \right\}$
или $ \left\{ 2, 3 \right\} \neq \left\{ \left\{2 \right\}, \left\{3 \right\} \right\} $?

$ A \neq B \Rightarrow \exists x \left( x \in A \wedge x \notin B \right) $
Но как соотнести, например, число 2 и множество $ \left\{ 2 \right\} $, ведь это объекты разной природы: число и множество? Или как сравнить пустое множество со множеством, которое его содержит, ведь во втором случае оно уже выступает в качестве элемента.


3) Можно ли доказывать вложение $ \forall A \left( \varnothing \subseteq A \right) $ так: введём характеристическую функцию, равную на некотором фиксированном уинверсуме U тождественной единице (это, кстати, надо доказывать или мы это в определении характеристической функции сразу указываем?). $ \varnothing $ ни одного элемента не содержит, поэтому $ \chi_{\varnothing} \equiv 0 $ на U. Тогда $ \left (A \subseteq B \right ) \Leftrightarrow \left( \chi_{A} \rightarrow \chi_{B} \equiv 1 \right) $, а поскольку $ \forall x \left (0 \rightarrow x = 1 \right ) $, то верно вложение $ \varnothing \subseteq A $.

[mihailm]

(Оффтоп)

вы на первом курсе?

[arseniiv]

1) $\varnothing = \varnothing$ следует из $\forall x\, x\in\varnothing \Leftrightarrow x\in\varnothing$, т. к. $x\in\varnothing$ не зависит от $x$.

2) $\{\varnothing\}$ содержит $\varnothing$, а $\varnothing$ не содержит $\varnothing$. $\{2, 3\}$ не содержит $\{2\}$, а $\{\{2\},\{3\}\}$ содержит.

3) Можно, но бритва Оккама не согласится. Без характеристических функций и надобности в универсуме ведь тоже можно.

[xmaister]

Asker Tasker в сообщении #586171 писал(а):

2) А вот как доказать, что

Аксиома фундирования доставляет, что $\{A\}\not\subset A$, где $A$- произвольное множество. Какое уж тут равенство...

[Asker Tasker]

Спасибо!

(Оффтоп)

mihailm в сообщении #586174 писал(а):

вы на первом курсе?

Не на первом. А что?

[arseniiv]

Кстати,

Asker Tasker в сообщении #586171 писал(а):

$ A \neq B \Rightarrow \exists x \left( x \in A \wedge x \notin B \right) $

Импликация в эту сторону при доказательстве неравенства множеств не поможет.
К тому же, она вообще неверна: $\neg\exists x\, x\in\{1\} \wedge x\notin\{1,2\}$

[Asker Tasker]

Я не совсем импликацию имел в виду. Хотел записать символьно, что множества не равны, если хотя бы в одном найдётся элемент, не имеющийся во втором. В роли "хотя бы одного" выступило множество А.
Разве не это отрицание равенства (в словесной форме)?

[arseniiv]

Это

Asker Tasker в сообщении #586192 писал(а):

множества не равны, если хотя бы в одном найдётся элемент, не имеющийся во втором

верно, а вот запись неверна. И импликация не в ту сторону (точнее, не в ту или не в обе), и $\exists x \left( x \in A \wedge x \notin B \right)$ — не то. «Хотя бы в одном» означает «в $A$ или в $B$», нельзя это заменить на просто «в $A$».

[xmaister]

Asker Tasker в сообщении #586171 писал(а):

3) Можно ли доказывать вложение так:

А зачем? Можно просто сослаться на то, что импликация с ложной посылкой- истина.

-- 18.06.2012, 01:44 --

Asker Tasker в сообщении #586171 писал(а):

$A\subseteq B\Leftrightarrow (\chi_A(x)\rightarrow\chi_B(x)\equiv 1)$

Это как понять? Вы хотели сказать, что $(A\subset B\Leftrightarrow x\in A\Rightarrow\chi_B(x)=1)$? Вам в любом случае придется ссылаться на то, что импликация с ложной посылкой- истина. Это можно сделать сразу если пользоваться тем, что $A\subset B\Leftrightarrow (x\in A\Rightarrow x\in B)$, т.е. определением того, что $A$- подмножество $B$.

[Asker Tasker]

xmaister в сообщении #586196 писал(а):

Asker Tasker в сообщении #586171 писал(а):

$A\subseteq B\Leftrightarrow (\chi_A(x)\rightarrow\chi_B(x)\equiv 1)$

Это как понять? Вы хотели сказать, что $(A\subset B\Leftrightarrow x\in A\Rightarrow\chi_B(x)=1)$? Вам в любом случае придется ссылаться на то, что импликация с ложной посылкой- истина. Это можно сделать сразу если пользоваться тем, что $A\subset B\Leftrightarrow (x\in A\Rightarrow x\in B)$, т.е. определением того, что $A$- подмножество $B$.

А почему нельзя так?
$A\subset B\Leftrightarrow \left( \chi_{A} \rightarrow \chi_{B} \equiv 1 \right) \begin{bmatrix}

Если $ \chi_{A} \rightarrow \chi_{B} \equiv 1 $, то тождественно истинен предикат $ P \left( x \right) := \forall x \left( x \in A \rightarrow x \in B \right) $, то есть $ A \subseteq B $

[arseniiv]

Конечно, можно. Но характеристические функции определяются через $\in$, и вы их используете для суждений об $\in$, которые проще доказать с одним только $\in$.

[Asker Tasker]

Понял. Спасибо!

[Asker Tasker]

arseniiv в сообщении #586186 писал(а):

1) $\varnothing = \varnothing$ $\{2, 3\}$ не содержит $\{2\}$, а $\{\{2\},\{3\}\}$ содержит.

Интуитивно оно понятно. Но меня опять смущает всё тот же вопрос. Говоря, что какой-то элемент не принадлежит данному множеству, мы ведь подразумеваем, что он отличен ото всех элементов этого множества (если они есть)?
То есть, получается, мы сравниваем число три и множество, содержащее тройку, но ведь это объекты разной природы: число и множество. Мы поэтому говорим, что $3 \neq \left\{ 3 \right\}$ или это из какой-то аксиомы следует?

xmaister в сообщении #586187 писал(а):

Аксиома фундирования доставляет, что $\{A\}\not\subset A$, где $A$- произвольное множество. Какое уж тут равенство...

Вообще доказательства предполагали только ссылки на определения равенства множеств, подмножества и операций над множествами, то есть без привлечения аксиом. Правилен такой подход или неправилен - наверное, другой вопрос. Тем не менее, тут у нас А - это множество и мы гарантируем невозможность равенства $ \{ A \} = A$, но как мы доказываем $\{ a \} \neq a$, где а - число или вообще любой другой объект, но не множество?

Заранее спасибо.

[apriv]

Asker Tasker в сообщении #586898 писал(а):

То есть, получается, мы сравниваем число три и множество, содержащее тройку, но ведь это объекты разной природы: число и множество. Мы поэтому говорим, что $3 \neq \left\{ 3 \right\}$ или это из какой-то аксиомы следует?
Заранее спасибо.

Если это «объекты разной природы», то они никак не могут быть равны, и проблем нет. А иногда натуральные числа строятся как множества; но при таком построении все равно $3 \neq \left\{ 3 \right\}$ (хотя бы по аксиоме регулярности), и снова проблем нет.

[Asker Tasker]

Ага. Спасибо.
Просто иногда хочется сразу сказать "невозможно" и всё. А слово "докажите" всегда смущает..