2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Асимптота неявно заданной кривой
Сообщение13.06.2012, 21:49 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Думаю, уместно будет в этой теме задать такой вопрос:

А поиск асимптот неявно заданных функций одной переменной, имеет полный, до конца отработанный алгоритм? Или это всё ещё является темой научных исследований?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптота
Сообщение13.06.2012, 22:35 


29/09/06
4552
Shtorm в сообщении #584592 писал(а):
Или это всё ещё является темой научных исследований?
Такая ерунда не может быть темой научных исследований.
Shtorm в сообщении #584592 писал(а):
А поиск асимптот неявно заданных функций одной переменной,
Для математика нет никакой разницы, явно оно, или неявно они заданы. Достаточно осознания того, что неявное $F(x,y)=0$ может обозначать несколько функций $x\to y$. И даже думать об этом не надо, всё само получится. Производные неявных функций он (математик) считать умеет, с рядами знаком, и с resultant'ами, если чо (всегда забываю, как этот определитель у них называется).

Это, возможно, проблема и тема для студентов, которые ещё не стали математиками. Ну там методички нужны, шпаргалки...

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптота
Сообщение14.06.2012, 02:01 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Ну, то есть всё давно исследовано. Почему же я никак не могу найти подходящую литературу, где был бы изложен алгоритм нахождения асимптот неявно заданной функции?

Алексей К. в сообщении #584613 писал(а):
Это, возможно, проблема и тема для студентов, которые ещё не стали математиками. Ну там методички нужны, шпаргалки...


А откуда Вы получили знания по асимптотам неявно заданных функций? Не из книг ли? Или некая секта математиков из поколения в поколении передаёт устно друг другу свои знания? И нигде при этом не публикуют? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптота
Сообщение14.06.2012, 07:37 


29/09/06
4552
Shtorm,

я таких знаний не получал. Случалась куча подобных мелких задач, и они, в основном, решались. И занимался я этим в доинтернетную эпоху. Типа выучил математику --- и решай себе всё, что попало.
Любую неявную функцию можно рассматривать, как несколько явных, и так с ней работать.
Есть ещё параметрические уравнения кривых, и для них тоже вряд ли кто-то будет писать спец-шпаргалку.

Предметный разговор был бы --- взять несколько задачек и поискать эти асимптоты. И посмотреть, что там не так, зачем нужна новая теория. Только Вы, похоже, более заинтересованное лицо. Вот возьмите для начала кривую $x^2-y^2=1$ и попробуйте поискать асимптоты, не выражая $y$ явно. Наклон ищется легко (у меня устно получилось). Потом чего-нибудь посложнее проанализируйте. Вот не помню, как декартов лист выглядит. Внутри, помню, фулечка, а остальное кажется асимптотизирует. И уже кубично будет.

Только я не уверен, что этим прилично заниматься в чужой теме. Модераторы подсобят, если чо, разделят.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптота
Сообщение14.06.2012, 20:02 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Алексей К. в сообщении #584765 писал(а):
Shtorm, я таких знаний не получал. Случалась куча подобных мелких задач, и они, в основном, решались. И занимался я этим в доинтернетную эпоху.


Ну, то есть, иными словами, Вы не знаете, есть ли полноценная чёткая методика нахождения асимптот неявно заданных функций всех типов?

Алексей К. в сообщении #584765 писал(а):
Типа выучил математику --- и решай себе всё, что попало.


Но выучить математику можно либо по книгам, либо с помощью толковых преподавателей. Но если какой-то темы в книге нет и нет толковых преподавателей, знающих эту тему - то как это выучить?

Алексей К. в сообщении #584765 писал(а):
Любую неявную функцию можно рассматривать, как несколько явных, и так с ней работать.


Вот эту информацию в книгах видел. Но там сказано, если неявную функцию можно разложить на множители, где каждый множитель - какая-то функция (видимо явная). А если нельзя разложить?

Алексей К. в сообщении #584765 писал(а):
Есть ещё параметрические уравнения кривых, и для них тоже вряд ли кто-то будет писать спец-шпаргалку.


Есть информация в книгах по асимптотам параметрически заданных функций и есть информация по асимптотам функций, заданных в полярной системе координат. Я правда туда особо не лез пока. Не знаю - насколько отработана там методика и всегда ли она работает.

Алексей К. в сообщении #584765 писал(а):

Предметный разговор был бы --- взять несколько задачек и поискать эти асимптоты. И посмотреть, что там не так, зачем нужна новая теория. Только Вы, похоже, более заинтересованное лицо.


Ага. :-) Заинтересованное лицо я, а публиковаться в журнале опять будете Вы? :lol: Давайте договоримся, что публиковаться будем вместе. :?:

Алексей К. в сообщении #584765 писал(а):

Вот возьмите для начала кривую $x^2-y^2=1$ и попробуйте поискать асимптоты, не выражая $y$ явно. Наклон ищется легко (у меня устно получилось).


Ну, давайте я напишу ту методику, которую я нашёл в книгах, а Вы напишите ту методику, которую Вы применили в уме.

Уравнение наклонной асимптоты ищем в виде $y=kx+b$. Подставляем это уравнение вместо y в уравнение гиперболы. Получаем
$x^2-( kx+b)^2=1$

$x^2- k^2x^2-2kbx-b^2-1=0$

$(1- k^2)x^2-2kbx-b^2-1=0$

Приравниваем коэффициенты при двух старших степенях x к нулю и решаем систему:

$(1- k^2)=0$
$ -2kb =0$

Откуда k_1=1, k_2=-1, b=0

Получаем два уравнения наклонных асимптот

$y=x$
$y=-x$

Алексей К., жду Вашего решения.


Алексей К. в сообщении #584765 писал(а):
Потом чего-нибудь посложнее проанализируйте. Вот не помню, как декартов лист выглядит. Внутри, помню, фулечка, а остальное кажется асимптотизирует. И уже кубично будет.


Уравнение декартова листа: $x^3+y^3-3axy=0$

А вот мне интересно: Дана функция

$y^4x^2-13x^2y^2+y^3x+36x^2+3y-20=0$

По методике из книги получаем 4 горизонтальные асимптоты:

$y=3, y=-3, y=2, y=-2$

А по Вашей методике этот результат так же легко получить?


Алексей К. в сообщении #584765 писал(а):
Только я не уверен, что этим прилично заниматься в чужой теме. Модераторы подсобят, если чо, разделят.


Дело в том, что про асимптоту здесь на форуме много тем, где школьники/студенты просят помощи при нахождении асимптоты. Открывать ещё одну тему я посчитал нецелесообразным. А название темы очень всеобъемлющее. Потом эту тему можно будет использовать как справочный материал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптота
Сообщение14.06.2012, 20:40 


29/09/06
4552
Shtorm в сообщении #585077 писал(а):
Уравнение наклонной асимптоты ищем в виде $y=kx+b$. Подставляем это уравнение вместо y в уравнение гиперболы.
Для этой подстановки нужны какие-то обоснования.

Согласно известному правилу нахождения наклонных асимптот, следует разобраться с пределом отношения $\frac{y(x)}x=k(x)$.
Вместо функции $F(x,y)$ рассмотрим $G(k,x)=F(x,kx)$: $x^2(1-k^2)-1=0$. Только при $k=\pm1$ это равенство будет выполнено как предельное при $x\to\infty$. Теперь можно разбираться с $b$, рассмотрев $F(x,k_{1,2}x+b)$. Это я уже устно не делал.

-- 14 июн 2012, 22:09:52 --

Shtorm в сообщении #585077 писал(а):
А по Вашей методике этот результат так же легко получить?
Никакой своей методики я пока не заявлял. Методика одна и та же, а задача может отказаться простой или технически сложной или технически очень сложной. Степень сложности зависит от знаний решателя. Допустим, он знает теорию рядов или специальные функции, и тогда и с тангенсом наклонным разберётся. И трюки знает, например, догадается все бесконечности загнать в начало координат, и поизучать в нуле соприкасающиеся окружности, в которые все асимптоты при этом превратятся.

А методика --- одна и та же: изучить поведение $y/x$. И мне уже надоедает одно и то же повторять. Совокупность Вашего упрямства+дилетантизма+амбиций потрясает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптота неявно заданной кривой
Сообщение15.06.2012, 03:26 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Алексей К. в сообщении #585092 писал(а):
Для этой подстановки нужны какие-то обоснования.


Ну, это к автору той книжки. Там никаких обоснований не было. Уже это наводит на мысль о некой незавершённости в этой области или о разных взглядах/подходах.

Алексей К. в сообщении #585092 писал(а):
Никакой своей методики я пока не заявлял. Методика одна и та же,...


Ну надо же! А как тогда это:

Алексей К. в сообщении #581760 писал(а):
Shtorm в сообщении #581752 писал(а):
Однако алгоритмы поиска вертикальных и наклонных асимптот отличаются
..... Записать прямую параметрически, или $ax+by+c=0$, и плевать --- вертикальная она асимптота или горизонтальная.....


Относится ли это к одной и той же методике?

Алексей К. в сообщении #585092 писал(а):

А методика ---одна и та же: изучить поведение $y/x$.


Это и для вертикальных и для горизонтальных?

Алексей К. в сообщении #585092 писал(а):
Вместо функции $F(x,y)$ рассмотрим $G(k,x)=F(x,kx)$: $x^2(1-k^2)-1=0$. Только при $k=\pm1$ это равенство будет выполнено как предельное при $x\to\infty$.


Вот здесь я никак не пойму, если $x^2\to\infty$ и при этом (1-k^2) обращается в нуль, при $k=\pm1$, то получается неопределённость $0\cdot\infty$? Или я что-то не допонимаю?

Ну и давайте вместо наклонённого тангенса рассмотрим наклонённый логарифм.

$\ln(x+y)+x-y=0$

$\ln(x+kx)+x-kx=0$

$\ln[(1+k)x]+(1-k)x=0$

Как быть дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптота неявно заданной кривой
Сообщение15.06.2012, 19:09 


02/11/08
1193
Shtorm в сообщении #585192 писал(а):

$\ln[(1+k)x]+(1-k)x=0$

Как быть дальше?


Наверное разделить все на $x$ и считать предел при больших$ x$ - получится уравнение для $k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптота неявно заданной кривой
Сообщение15.06.2012, 21:21 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Yu_K писал(а):
Наверное разделить все на $x$ и считать предел при больших$ x$ - получится уравнение для $k$.


Поделим, возьмём предел при $x\to +\infty$ и в ответе получим $(1-k)$. Если приравнять его к нулю, то получим $k=1$, тогда как должно быть $k=-1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптота неявно заданной кривой
Сообщение16.06.2012, 08:57 


02/11/08
1193
Тут вроде две асимптоты http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+ln%28x%2By%29%2Bx-y%3D0.

Одна теряется при таком подходе - хорошо бы получить уравнение для разности $y_1(x)$ - неявно заданной и $y_2(x)=kx+b$ и искать условие того, что на бесконечности эта разность стремится к нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптота неявно заданной кривой
Сообщение16.06.2012, 10:45 


19/05/10

3940
Россия

(Оффтоп)

Совершенно непонятно как общаться с ТС))), может так?


Shtorm в сообщении #584592 писал(а):
Думаю, уместно будет в этой теме задать такой вопрос...

не уместно

Shtorm в сообщении #584592 писал(а):
...
А поиск асимптот неявно заданных функций одной переменной, имеет полный, до конца отработанный алгоритм?...

нет

Shtorm в сообщении #584592 писал(а):
...Или это всё ещё является темой научных исследований?


Не являлось и не будет

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптота неявно заданной кривой
Сообщение16.06.2012, 10:46 


29/09/06
4552
Shtorm в сообщении #585192 писал(а):
Ну и давайте вместо наклонённого тангенса рассмотрим наклонённый логарифм.

Выразите явно $k=-1-\frac1x W\left(-e^{-2x}\right)$. Значение функции Ламберта в нуле $(x\to+\infty)$ известно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптота неявно заданной кривой
Сообщение16.06.2012, 11:17 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
Yu_K в сообщении #585645 писал(а):
Тут вроде две асимптоты
Yu_K, ну как Вы можете такое писать? Повернули кривую, и у неё вторая асимптота образовалась?
Или Вы так неуклюже в соавторы напрашиваетесь? Вряд ли получится, их уже много.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптота неявно заданной кривой
Сообщение16.06.2012, 11:28 


02/11/08
1193
У наклоненного логарифма конечно одна асимптота. $y=-\ln(x)$ - здесь же одна - сделали линейное преобразование (поворот) одна и останется. Вид картинки вольфрамовской меня обманул...

Не успел поправить... уже получил :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптота неявно заданной кривой
Сообщение16.06.2012, 12:26 


29/09/06
4552
nnosipov в сообщении #585646 писал(а):
...кривая, заданная уравнением $c_1^3-3^2b_1^3-6b_1c_1=0$, имеет асимптоту, тангенс угла наклона которой равен $3^{2/3}>104/50$.
Во, надо же! Товарищ устно считает неявные асимптоты без нашей методички!
Алексей К. в сообщении #584765 писал(а):
Типа выучил математику --- и решай себе всё, что попало.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group