Асимптота неявно заданной кривой

[Shtorm]

Думаю, уместно будет в этой теме задать такой вопрос:

А поиск асимптот неявно заданных функций одной переменной, имеет полный, до конца отработанный алгоритм? Или это всё ещё является темой научных исследований?

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #584592 писал(а):

Или это всё ещё является темой научных исследований?

Такая ерунда не может быть темой научных исследований.

Shtorm в сообщении #584592 писал(а):

А поиск асимптот неявно заданных функций одной переменной,

Для математика нет никакой разницы, явно оно, или неявно они заданы. Достаточно осознания того, что неявное $F(x,y)=0$ может обозначать несколько функций $x\to y$. И даже думать об этом не надо, всё само получится. Производные неявных функций он (математик) считать умеет, с рядами знаком, и с resultant'ами, если чо (всегда забываю, как этот определитель у них называется).

Это, возможно, проблема и тема для студентов, которые ещё не стали математиками. Ну там методички нужны, шпаргалки...

[Shtorm]

Ну, то есть всё давно исследовано. Почему же я никак не могу найти подходящую литературу, где был бы изложен алгоритм нахождения асимптот неявно заданной функции?

Алексей К. в сообщении #584613 писал(а):

Это, возможно, проблема и тема для студентов, которые ещё не стали математиками. Ну там методички нужны, шпаргалки...

А откуда Вы получили знания по асимптотам неявно заданных функций? Не из книг ли? Или некая секта математиков из поколения в поколении передаёт устно друг другу свои знания? И нигде при этом не публикуют?

[Алексей К.]

Shtorm,

я таких знаний не получал. Случалась куча подобных мелких задач, и они, в основном, решались. И занимался я этим в доинтернетную эпоху. Типа выучил математику --- и решай себе всё, что попало.
Любую неявную функцию можно рассматривать, как несколько явных, и так с ней работать.
Есть ещё параметрические уравнения кривых, и для них тоже вряд ли кто-то будет писать спец-шпаргалку.

Предметный разговор был бы --- взять несколько задачек и поискать эти асимптоты. И посмотреть, что там не так, зачем нужна новая теория. Только Вы, похоже, более заинтересованное лицо. Вот возьмите для начала кривую $x^2-y^2=1$ и попробуйте поискать асимптоты, не выражая $y$ явно. Наклон ищется легко (у меня устно получилось). Потом чего-нибудь посложнее проанализируйте. Вот не помню, как декартов лист выглядит. Внутри, помню, фулечка, а остальное кажется асимптотизирует. И уже кубично будет.

Только я не уверен, что этим прилично заниматься в чужой теме. Модераторы подсобят, если чо, разделят.

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #584765 писал(а):

Shtorm, я таких знаний не получал. Случалась куча подобных мелких задач, и они, в основном, решались. И занимался я этим в доинтернетную эпоху.

Ну, то есть, иными словами, Вы не знаете, есть ли полноценная чёткая методика нахождения асимптот неявно заданных функций всех типов?

Алексей К. в сообщении #584765 писал(а):

Типа выучил математику --- и решай себе всё, что попало.

Но выучить математику можно либо по книгам, либо с помощью толковых преподавателей. Но если какой-то темы в книге нет и нет толковых преподавателей, знающих эту тему - то как это выучить?

Алексей К. в сообщении #584765 писал(а):

Любую неявную функцию можно рассматривать, как несколько явных, и так с ней работать.

Вот эту информацию в книгах видел. Но там сказано, если неявную функцию можно разложить на множители, где каждый множитель - какая-то функция (видимо явная). А если нельзя разложить?

Алексей К. в сообщении #584765 писал(а):

Есть ещё параметрические уравнения кривых, и для них тоже вряд ли кто-то будет писать спец-шпаргалку.

Есть информация в книгах по асимптотам параметрически заданных функций и есть информация по асимптотам функций, заданных в полярной системе координат. Я правда туда особо не лез пока. Не знаю - насколько отработана там методика и всегда ли она работает.

Алексей К. в сообщении #584765 писал(а):

Предметный разговор был бы --- взять несколько задачек и поискать эти асимптоты. И посмотреть, что там не так, зачем нужна новая теория. Только Вы, похоже, более заинтересованное лицо.

Ага. Заинтересованное лицо я, а публиковаться в журнале опять будете Вы? Давайте договоримся, что публиковаться будем вместе.

Алексей К. в сообщении #584765 писал(а):

Вот возьмите для начала кривую $x^2-y^2=1$ и попробуйте поискать асимптоты, не выражая $y$ явно. Наклон ищется легко (у меня устно получилось).

Ну, давайте я напишу ту методику, которую я нашёл в книгах, а Вы напишите ту методику, которую Вы применили в уме.

Уравнение наклонной асимптоты ищем в виде $y=kx+b$. Подставляем это уравнение вместо y в уравнение гиперболы. Получаем
$x^2-( kx+b)^2=1$

$x^2- k^2x^2-2kbx-b^2-1=0$

$(1- k^2)x^2-2kbx-b^2-1=0$

Приравниваем коэффициенты при двух старших степенях x к нулю и решаем систему:

$(1- k^2)=0$
$ -2kb =0$

Откуда k_1=1, k_2=-1, b=0

Получаем два уравнения наклонных асимптот

$y=x$
$y=-x$

Алексей К., жду Вашего решения.

Алексей К. в сообщении #584765 писал(а):

Потом чего-нибудь посложнее проанализируйте. Вот не помню, как декартов лист выглядит. Внутри, помню, фулечка, а остальное кажется асимптотизирует. И уже кубично будет.

Уравнение декартова листа: $x^3+y^3-3axy=0$

А вот мне интересно: Дана функция

$y^4x^2-13x^2y^2+y^3x+36x^2+3y-20=0$

По методике из книги получаем 4 горизонтальные асимптоты:

$y=3, y=-3, y=2, y=-2$

А по Вашей методике этот результат так же легко получить?

Алексей К. в сообщении #584765 писал(а):

Только я не уверен, что этим прилично заниматься в чужой теме. Модераторы подсобят, если чо, разделят.

Дело в том, что про асимптоту здесь на форуме много тем, где школьники/студенты просят помощи при нахождении асимптоты. Открывать ещё одну тему я посчитал нецелесообразным. А название темы очень всеобъемлющее. Потом эту тему можно будет использовать как справочный материал.

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #585077 писал(а):

Уравнение наклонной асимптоты ищем в виде $y=kx+b$. Подставляем это уравнение вместо y в уравнение гиперболы.

Для этой подстановки нужны какие-то обоснования.

Согласно известному правилу нахождения наклонных асимптот, следует разобраться с пределом отношения $\frac{y(x)}x=k(x)$.
Вместо функции $F(x,y)$ рассмотрим $G(k,x)=F(x,kx)$: $x^2(1-k^2)-1=0$. Только при $k=\pm1$ это равенство будет выполнено как предельное при $x\to\infty$. Теперь можно разбираться с $b$, рассмотрев $F(x,k_{1,2}x+b)$. Это я уже устно не делал.

-- 14 июн 2012, 22:09:52 --

Shtorm в сообщении #585077 писал(а):

А по Вашей методике этот результат так же легко получить?

Никакой своей методики я пока не заявлял. Методика одна и та же, а задача может отказаться простой или технически сложной или технически очень сложной. Степень сложности зависит от знаний решателя. Допустим, он знает теорию рядов или специальные функции, и тогда и с тангенсом наклонным разберётся. И трюки знает, например, догадается все бесконечности загнать в начало координат, и поизучать в нуле соприкасающиеся окружности, в которые все асимптоты при этом превратятся.

А методика --- одна и та же: изучить поведение $y/x$. И мне уже надоедает одно и то же повторять. Совокупность Вашего упрямства+дилетантизма+амбиций потрясает.

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #585092 писал(а):

Для этой подстановки нужны какие-то обоснования.

Ну, это к автору той книжки. Там никаких обоснований не было. Уже это наводит на мысль о некой незавершённости в этой области или о разных взглядах/подходах.

Алексей К. в сообщении #585092 писал(а):

Никакой своей методики я пока не заявлял. Методика одна и та же,...

Ну надо же! А как тогда это:

Алексей К. в сообщении #581760 писал(а):

Shtorm в сообщении #581752 писал(а):

Однако алгоритмы поиска вертикальных и наклонных асимптот отличаются

..... Записать прямую параметрически, или $ax+by+c=0$, и плевать --- вертикальная она асимптота или горизонтальная.....

Относится ли это к одной и той же методике?

Алексей К. в сообщении #585092 писал(а):

А методика ---одна и та же: изучить поведение $y/x$.

Это и для вертикальных и для горизонтальных?

Алексей К. в сообщении #585092 писал(а):

Вместо функции $F(x,y)$ рассмотрим $G(k,x)=F(x,kx)$: $x^2(1-k^2)-1=0$. Только при $k=\pm1$ это равенство будет выполнено как предельное при $x\to\infty$.

Вот здесь я никак не пойму, если $x^2\to\infty$ и при этом (1-k^2) обращается в нуль, при $k=\pm1$, то получается неопределённость $0\cdot\infty$? Или я что-то не допонимаю?

Ну и давайте вместо наклонённого тангенса рассмотрим наклонённый логарифм.

$\ln(x+y)+x-y=0$

$\ln(x+kx)+x-kx=0$

$\ln[(1+k)x]+(1-k)x=0$

Как быть дальше?

[Yu_K]

Shtorm в сообщении #585192 писал(а):

$\ln[(1+k)x]+(1-k)x=0$

Как быть дальше?

Наверное разделить все на $x$ и считать предел при больших$ x$ - получится уравнение для $k$.

[Shtorm]

Yu_K писал(а):

Наверное разделить все на $x$ и считать предел при больших$ x$ - получится уравнение для $k$.

Поделим, возьмём предел при $x\to +\infty$ и в ответе получим $(1-k)$. Если приравнять его к нулю, то получим $k=1$, тогда как должно быть $k=-1$

[Yu_K]

Тут вроде две асимптоты http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+ln%28x%2By%29%2Bx-y%3D0.

Одна теряется при таком подходе - хорошо бы получить уравнение для разности $y_1(x)$ - неявно заданной и $y_2(x)=kx+b$ и искать условие того, что на бесконечности эта разность стремится к нулю.

[mihailm]

(Оффтоп)

Совершенно непонятно как общаться с ТС))), может так?

Shtorm в сообщении #584592 писал(а):

Думаю, уместно будет в этой теме задать такой вопрос...

не уместно

Shtorm в сообщении #584592 писал(а):

...
А поиск асимптот неявно заданных функций одной переменной, имеет полный, до конца отработанный алгоритм?...

нет

Shtorm в сообщении #584592 писал(а):

...Или это всё ещё является темой научных исследований?

Не являлось и не будет

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #585192 писал(а):

Ну и давайте вместо наклонённого тангенса рассмотрим наклонённый логарифм.

Выразите явно $k=-1-\frac1x W\left(-e^{-2x}\right)$. Значение функции Ламберта в нуле $(x\to+\infty)$ известно.

[AKM]

Yu_K в сообщении #585645 писал(а):

Тут вроде две асимптоты

Yu_K, ну как Вы можете такое писать? Повернули кривую, и у неё вторая асимптота образовалась?
Или Вы так неуклюже в соавторы напрашиваетесь? Вряд ли получится, их уже много.

[Yu_K]

У наклоненного логарифма конечно одна асимптота. $y=-\ln(x)$ - здесь же одна - сделали линейное преобразование (поворот) одна и останется. Вид картинки вольфрамовской меня обманул...

Не успел поправить... уже получил

[Алексей К.]

nnosipov в сообщении #585646 писал(а):

...кривая, заданная уравнением $c_1^3-3^2b_1^3-6b_1c_1=0$, имеет асимптоту, тангенс угла наклона которой равен $3^{2/3}>104/50$.

Во, надо же! Товарищ устно считает неявные асимптоты без нашей методички!

Алексей К. в сообщении #584765 писал(а):

Типа выучил математику --- и решай себе всё, что попало.