Асимптота неявно заданной кривой

[nnosipov]

Алексей К., Вы несколько преувеличиваете мои возможности по поводу устного счёта

[Shtorm]

Yu_K в сообщении #585645 писал(а):

.... хорошо бы получить уравнение для разности $y_1(x)$ - неявно заданной и $y_2(x)=kx+b$ и искать условие того, что на бесконечности эта разность стремится к нулю.

То, что Вы предлагаете - это как один из подходов к поиску наклонных асимптот, неявно заданных функций? Но из наклонного логарифма не выразишь в явном виде y.

-- Сб июн 16, 2012 20:20:50 --

mihailm в сообщении #585667 писал(а):

Shtorm в сообщении #584592 писал(а):

...
А поиск асимптот неявно заданных функций одной переменной, имеет полный, до конца отработанный алгоритм?...

нет

Спасибо за чёткий однозначный ответ. Теперь у меня есть точка опоры в этой теме. Тогда такой вопрос, а нельзя ли каким-либо образом поделить все неявные функции на классы таким образом, чтобы в зависимости от класса говорить - вот здесь такой алгоритм, а вот здесь такой, а вот здесь такой, а вот здесь вообще непонятно.
И насколько я понял, для всех видов алгебраических неявно заданных функций алгоритм поиска чётко известен.

-- Сб июн 16, 2012 20:35:34 --

Алексей К. в сообщении #585668 писал(а):

....
Выразите явно $k=-1-\frac1x W\left(-e^{-2x}\right)$. Значение функции Ламберта в нуле $(x\to+\infty)$ известно.

Спасибо. Ну, а можно ли тогда в методичке написать, что если в неявных функциях присутствуют трансцендентные выражения связанные с логарифмами и показательными функциями, то полезен приём использования функции Ламберта.?

-- Сб июн 16, 2012 20:51:06 --

Алексей К. в сообщении #585707 писал(а):

nnosipov в сообщении #585646 писал(а):

...кривая, заданная уравнением $c_1^3-3^2b_1^3-6b_1c_1=0$, имеет асимптоту, тангенс угла наклона которой равен $3^{2/3}>104/50$.

Во, надо же! Товарищ устно считает неявные асимптоты без нашей методички!

Я проверил найденный тангенс по той методике из книги, где просто подставляется вместо y выражение $y=kx+b$, а затем приравниваются нулю коэффициенты при старших степенях x. Ответ совпал. Это значит методика в книге верная.

[AKM]

Shtorm в сообщении #585810 писал(а):

нельзя ли каким-либо образом поделить все неявные функции на классы таким образом, чтобы в зависимости от класса говорить - вот здесь такой алгоритм, а вот здесь такой, а вот здесь такой, а вот здесь вообще непонятно

Нет. Везде 1 (один) алгоритм.

Shtorm в сообщении #585810 писал(а):

Ну, а можно ли тогда в методичке написать, что если в неявных функциях присутствуют трансцендентные выражения связанные с логарифмами и показательными функциями, то полезен приём использования функции Ламберта.?

Нельзя. Нельзя в методичках писать глупости.

Shtorm в сообщении #585810 писал(а):

Это значит методика в книге верная.

Нет. Это не значит, что методика в книге верная. Если даже методика в книге верная, то не это значит, что методика в книге верная.

[Shtorm]

AKM в сообщении #585827 писал(а):

Нет. Везде 1 (один) алгоритм.

Ну хорошо, пусть не алгоритм, пусть способы решения или подходы к решению. Вот например, когда вычисляют пределы функции, можно сказать по Вашему, алгоритм один - найти к чему стремится $y$ при стремлении $x$ к заданному значению. А вот способы разные:
разложение на множители, с последующим сокращением, домножение на сопряжённое, деление числителя и знаменателя на переменную в наибольшей степени, выделение первого замечательного предела, выделение второго замечательного предела, замена на эквивалентные бесконечно малые величины и т.д. и т.п. Вот в вышеприведённом примере с логарифмом - как бы можно было справится без функции Ламберта? Однако никто не будет применять функцию Ламберта при нахождении асимптоты, скажем $y=\frac {\sin(x)}{x}$

[Алексей К.]

$$ \left( {x}^{2}-20\,x-700-4\,{y}^{2}-80\,y \right) \left( 68\,{x}^{2} -108\,xy+23\,{y}^{2}+64 \right) x+13\,x-9=0.$$

По-моему, штук пять асимптот. На множители, сволочь, не разлагается (или, скотина, не раскладывается; не знаю, как правильно).

[nnosipov]

Алексей К. в сообщении #586127 писал(а):

На множители, сволочь, не разлагается

Интересно, а тайну старшей однородной части ТС знает?

[Алексей К.]

Я и сам не знаю тайну. Я не умею многочлены от двух переменных. От фонаря шпарю. С данным ТС это легко и надёжно. Добавить член во второй степени --- чисто не рискнул.

А алгебру мне тоже учить лень, как и ему. При этом я просто не позволяю себе "писать методички" о том, в чём я ни бум-бум. Ну, нравится мне быть по возможности честным.
Если и будет время --- выучу лучше итальянский; а потом можно и за алгебру взяться.

-- 17 июн 2012, 23:22:19 --

Я даже было подумал --- а не будет ли их 5+4=9 (асимптот)? Типа те четыре как-то разнаклонятся... разбегутся...
Но быстренько проанализировал случай $(a_1x+b_1y+c_1)(a_2x+b_2y+c_2)+a_0x+b_0y+ c_0=0$, и понял сразу, что третью ногу так не заполучить. А имеющиеся не теряются.
Вот какой ерундой приходится заниматься с такими ТопикСтартерами...

-- 17 июн 2012, 23:57:57 --

Не, я в математике весьма дилетант, любитель, просто вижу, что ТС на два порядка хуже дилетант. Я же Ламберта, извините, в Википедии сыскал ему в ответ (ну да, что-то с форума про неё помнилось, поиск был целенаправленный). По жизни никогда с ней дела не имел. Теперь вот он хочет, чтоб я на каждый его новый чих искал новую специальную функцию. Да не буду...

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #586127 писал(а):

$$ \left( {x}^{2}-20\,x-700-4\,{y}^{2}-80\,y \right) \left( 68\,{x}^{2} -108\,xy+23\,{y}^{2}+64 \right) x+13\,x-9=0.$$

По-моему, штук пять асимптот. На множители, сволочь, не разлагается (или, скотина, не раскладывается; не знаю, как правильно).

Ну, сначала я тупо перемножил две скобки (на $x$ после скобок пока не домножал), привёл подобные слагаемые, подставил вместо $y$ выражение $kx+b$, все раскрыл, перемножил, привёл подобные слагаемые, из них сгруппировал слагаемые, содержащие $x^4$, вынес $x^4$ за скобки и оставшееся в скобках приравнял к нулю. Получилось:

$68-108k+432k^3-92k^4=0$

Решил в Maple, корня понятно дело 4, но действительных из них 2 (если Maple не врёт).

Потом построил график и увидел, что он состоит из 5 веток. Две гиперболы, одна из которых наклонена и вертикальная прямая, проходящая через нуль. (Опять таки если Advanced Grapher не врёт). Следовательно, я где-то ошибся в вычислениях, так как должно быть 4 различных угловых коэффициента асиптот. Потом я убедился, что каждая из скобок, стоящая в исходной функции, представляет из себя гиперболу, из которых и состоит общий график. То есть насколько я понял, сразу можно было приравнивать каждую из скобок к нулю и искать налонные асимптоты, а как быть с вертикальной?

-- Пн июн 18, 2012 14:41:54 --

nnosipov в сообщении #586141 писал(а):

Интересно, а тайну старшей однородной части ТС знает?

Нет. Просветите пожалуйста.

-- Пн июн 18, 2012 14:48:48 --

Алексей К. в сообщении #586155 писал(а):

Я и сам При этом я просто не позволяю себе "писать методички" о том, в чём я ни бум-бум.

Так и я не буду писать, пока не разберусь Для того и тему затеял.

Алексей К. в сообщении #586155 писал(а):

Я же Ламберта, извините, в Википедии сыскал ему в ответ (ну да, что-то с форума про неё помнилось, поиск был целенаправленный). По жизни никогда с ней дела не имел.

Ну, а как бы можно было справиться без функции Ламберта в том примере? Повернуть оси? Ну так это хорошо мы знаем в том примере, что это повернутая элементарная функция. А если бы не знали и поворот ничего бы нам не дал?

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #586389 писал(а):

Потом я убедился, (выделено мной, А.К.) что каждая из скобок, стоящая в исходной функции, представляет из себя гиперболу, из которых и состоит общий график. То есть насколько я понял, сразу можно было приравнивать каждую из скобок к нулю и искать налонные асимптоты, а как быть с вертикальной?

Shtorm,

я видел в какой-то теме, что Вы умеете самостоятельно решать квадратные уравнения. Т.е., мне казалось, что Вы что-то понимаете в этих буковках, икс, игрек, зачем их пишут, что они означают...
Вы что, не можете взять пару точек с одной из гипербол, подставить их в уравнение кривой, сравнить левую и правую части?
Так нельзя.

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #586432 писал(а):

.....
Вы что, не можете взять пару точек с одной из гипербол, подставить их в уравнение кривой, сравнить левую и правую части?
Так нельзя.

Проклятие!! Действительно, некоторые точки лежащие на гиперболе, стоящей в первой скобке, не удовлетворяют всему уравнению!!! Какой же программе, строящей графики можно вообще доверять?

[ИСН]

ИСН в сообщении #586409 писал(а):

...он - не замена для простого человеческого здравого смысла. И никто не замена.

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #586445 писал(а):

Какой же программе, строящей графики можно вообще доверять?

Почитайте биографии Ньютона, Лагранжа, других. Наверняка там упомянуты программы, которыми они пользовались. И с ними успешно придумали всё то, чем теперь пользуемся мы.

[Shtorm]

Ну хорошо, хорошо, Вы тут все умнее меня, я же не спорю. Но как же всё-таки максимально эффективно найти асимптоты графика неявной функции?

$$ \left( {x}^{2}-20\,x-700-4\,{y}^{2}-80\,y \right) \left( 68\,{x}^{2} -108\,xy+23\,{y}^{2}+64 \right) x+13\,x-9=0.$$

[apriv]

Shtorm в сообщении #586471 писал(а):

Ну хорошо, хорошо, Вы тут все умнее меня, я же не спорю. Но как же всё-таки максимально эффективно найти асимптоты графика неявной функции?

$$ \left( {x}^{2}-20\,x-700-4\,{y}^{2}-80\,y \right) \left( 68\,{x}^{2} -108\,xy+23\,{y}^{2}+64 \right) x+13\,x-9=0.$$

Переходя к однородным координатам $x=X/Z$, $y=Y/Z$ и подставляя $Z=0$, получаем $(X^2-4Y^2)(68X^2-108XY+23Y^2)X=0$. Квадратные уравнения решаются.

[Shtorm]

apriv в сообщении #586484 писал(а):

Переходя к однородным координатам $x=X/Z$, $y=Y/Z$ и подставляя $Z=0$, получаем $(X^2-4Y^2)(68X^2-108XY+23Y^2)X=0$. Квадратные уравнения решаются.

Спасибо большое за помощь. Тогда значит уравнение наклонных асимптот для преобразованной функции ищем в виде $Y=kX+b$. И найденные $k$ и $b$ будут соответствовать изначальной функции, или нужно как-то их преобразовывать?