Квантовая потенциальная яма непрямоугольной формы

[Kamaz]

Munin в сообщении #578881 писал(а):

А разве она даёт аналитическое решение?

Для каких-то общих выводов вполне может помочь вид ВФ и периодичность блоховского множителя. Ну, а вообще, метод сильной связи (в приближении ближайших соседей) вполне аналитическое решение. Не точное, конечно, приблизительное, но все же.

[Helium]

Kamaz в сообщении #578877 писал(а):

Поскольку потенциал периодичен, то ВФ можно искать по теореме Блоха, как в кристаллах.

Я немного посмотрел сколько понял упрощения сводятся к одноэлектронному приближению но одноэлектронное приближение у нас уже есть. Последнее упрощение Кронига-Пенни потенциал заменяется прямоугольным что уже нас не устраивает. По моему периодический потенциал не касается данной задачи здесь нету периодического потенциала. Думаю задача больше напоминает математический маятник. Может кто знает есть ли квантовое описание для математического маятника?

[ewert]

Kamaz в сообщении #578918 писал(а):

Для каких-то общих выводов вполне может помочь вид ВФ и периодичность блоховского множителя.

Потенциал не является локально суммируемым, т.к. на границах он уходит на бесконечность слишком быстро -- как минус первая степень координаты. Поэтому уравнение невозможно рассматривать как периодическое на всей оси. Вот если бы скорость роста была поменьше -- скажем, как единица делить на корень (вообще как любая отрицательная степень, по модулю меньшая единицы) -- тогда бы дело другое.

[Helium]

ewert в сообщении #579278 писал(а):

Потенциал не является локально суммируемым, т.к. на границах он уходит на бесконечность слишком быстро

Проблему бесконечности можно снять немного сузив область решения с обеих сторон. Все равно нас высокие уровни возбуждения не интересуют. Нам нужны только основное состояние и максимум первые два возбужденных состояния. Но как это поможет?

[ewert]

Helium в сообщении #579282 писал(а):

Проблему бесконечности можно снять немного сузив область решения с обеих сторон.

Будем конкретнее. Пусть косинус в потенциале стоит под модулем. И пусть мы срезаем вершинки этого потенциала на всё более высоком уровне. Получается оператор с периодическим потенциалом, спектр которого чисто непрерывен и разделён на зоны. Что будет со спектром, если уровень среза устремить бесконечности?... Ясно, что: каждая зона будет стягиваться в точку, отвечающую соответствующему дискретному уровню чистого косинуса на отрезке. Т.е. будет шило на мыло.

Если же степень была бы по модулю меньше единичной, то срезки уже не имели бы принципиального значения -- в пределе получался бы некоторый зонный спектр. Границы каждой зоны определялись бы периодическими и антипериодическими решениями. Т.е. для их нахождения пришлось бы найти чётные и нечётные связанные состояния задачи на отрезке. Т.е. снова шило на мыло.

[Helium]

А нельзя оценить энергию нулевых колебаний? переписать уравнение в импульсном виде затем приравнять к нулю производное по импульсу пологая $P \cdot x=\hbar$ по аналогии с гармоническим осциллятором. В нашем случае наверное будет $P\cdot r \cdot \theta =\hbar$ ?

[Helium]

Используя соотношение неопределенности по аналогии с гармоническим осциллятором получил можно сказать немного грубую оценку минимальной энергии.




Хотелось бы узнать все ли сделано верно?

[Helium]

Такое высокое значение энергии нулевых колебаний осциллятора 2.1455*27.2= 58.3576эВ (Это приближенная оценка. На самом деле энергия несколько ниже) наводит на мысль, что основной вклад в энергию оболочки гелия вносит колебательная компонента движения а не вращательная.
Добавим в исходное уравнение потенциал взаимодействия электрона с ядром $-\frac{Ze^2}{r}$ и для большей наглядности постоянную компоненту потенциальной энергии взаимодействия электронов $\frac{e^2}{4r}$ перепишем в другую часть уравнения. В итоге получим:


$-\frac{{\hbar}^{2}}{2m{r}^{2}}\frac{{d}^{2}\Psi }{d{\theta }^{2}}-\frac{Ze^2}{r}\Psi+\frac{e^2}{4r}\Psi+ \frac{{e}^{2}}{4r}\left( \frac{1}{\cos \theta }-1\right)\Psi = E\Psi$

Уравнение для половины энергии оболочки гелия и гелий подобных ионов в основном состоянии т.е. для одного электрона. Для получения полной энергии необходимо найденное решение для E умножить на 2.
Думаю вращательная энергия включается при возбужденных состояниях.

[Helium]

Kamaz в сообщении #578807 писал(а):

Если у вас две эти величины, входящие в неравенство, одного порядка, то раскладывать косинус вы не можете. Считайте ВФ численно.

Сделал численный расчет для уравнения осциллятора $-\frac{{\hbar}^{2}}{2m{r}^{2}}\frac{{d}^{2}\Psi }{d{\theta }^{2}}+ \frac{{e}^{2}}{4r}\left( \frac{1}{\cos \theta }-1\right)\Psi = E\Psi$

при r=0.585 и как видно из уравнения без постоянной компоненты потенциальной энергии $\frac{e^2}{4r}$

Из вида волновой функции понятно что это нулевой уровень n=0 и соответственно получено значение энергии нулевых колебаний которое составляет E=39.33069 эВ. Это значение практический равно половине энергии оболочки гелия -39.5026 эВ. Вряд ли это случайное совпадение.(напомню что все уравнения касаются половине оболочки).
Прошу знатокам разъяснить ситуацию. Сколько мне известно нулевые колебания в квантовой потенциальной яме не могут не существовать если яма не прямоугольная как в данном случае.
С другой стороны такое высокое значение энергии нулевых колебаний и такое совпадение означает практический отсутствие радиальной кинетической энергии.

[Helium]

sup в сообщении #578890 писал(а):

Для численного моделирования возможно будет полезным искать четные решения в виде
$\Psi = \Psi(\cos \theta)$
а нечетные в виде
$\Psi = \sin \theta\Psi(\cos \theta)$
После этого вся тригонометрия уходит и остаются уравнения очень похожие на уравнения для полиномов Чебышева. Поэтому потом ищем решение в виде в виде конечной суммы полиномов Чебышева. По сути это метод Галеркина с базисом из полиномов Чебышева.

Используя методику которую подсказал уважаемый sup
Получена формула для расчета энергии осциллятора в виде:

${E}_{osc}=\frac{1}{2r^2}+\frac{1}{\pi\point r }-\frac{1}{4r}$

Проверка показывает что данная формула приблизительная и нужно еще улучшить ее исползуя тот же метод в несколько проходов.
Но для понимани сути происходящего и этой точности достаточно.
Подставляя значение энергии осциллятора в уравнение получим: (используем атомную систему единиц Хартри $\hbar=m=e=1$)


$-\frac{Z}{r}\Psi +\frac{1}{4r}\Psi +\frac{1}{2r^2}\Psi +\frac{1}{\pi\point r }\Psi -\frac{1}{4r}\Psi = E\Psi$

Волновая функция $\Psi$ сокращается в итоге получаем уравнение для энергии :

$-\frac{Z}{r} +\frac{1}{2r^2} +\frac{1}{\pi\point r } = E$

Теперь необходимо найти минимальное значение для энергии атома E т.к в основном состоянии энергия должна иметь минимальное значение. Для этого приравнивая первое производное функции E от переменной r к нулю получим:

$\frac{Z}{r^2} -\frac{1}{r^3} -\frac{1}{\pi\point r^2 } = E'$

решение дает: $\frac{1}{r}=Z-\frac{1}{\pi}$ подставим результат в уравнение для энергии. В итоге получаем формулу для расчета половины энергии гелия и гелий подобных ионов в атомных единицах Хартри в виде:

$E=-\frac{Z^2}{2}+\frac{Z}{\pi}-\frac{1}{2\pi ^2}$

Для получения энергии в электронвольтах необходимо результат умножить на 27.2

-- 14.06.2012, 17:07 --

[Helium]

Из сказанного следует логический вывод что атом Гелия в невозбужденном состоянии является плоским. Электроны совершают плоские нулевые колебания.
Поскольку вращательная энергия тоже квантована то любое вращение в другой плоскости будет означать перевод атома в возбужденное состояние.
Можем оценить энергию необходимую для перевода атома в первое возбужденное состояние.
Пологая систему из двух электронов жестким квантовым ротатором посчитаем энергию.
Энергии жесткого ротатора рассчитываются по формуле:

${E}_{n}=n^2\frac{{\hbar}^{2}}{2I} $ $n=(0,1,2,3…)$ где $I=\mu R^2$ момент инерции системы. $\mu$ приведенная масса системы в случае гелия $\mu=\frac{m}{2}$ $R=2r$ расстояние между электронами. Подставим эти значения в формулу энергии получим:
${E}_{n}=n^2\frac{{\hbar}^{2}}{2\frac{m}{2}(2r)^2}=n^2\frac{{\hbar}^{2}}{4mr^2}$
Перепишем формулу в атомных единицах Хартри : ${E}_{n}=n^2\frac{{1}}{4r^2}$ Подставим значение орбитального радиуса Гелия $r=0.585$ и $n=1$ получим: ${E}_{1}=\frac{{1}}{4\cdot0.585^2}=0.7305$ в электрон вольтах получим ${E}_{1}=0.7305\cdot27.2=19.869 $эВ. Полученная величина хорошо согласуется с экспериментальным значением.

[Munin]

Скажите, а в вашей терминологии, атом водорода в невозбуждённом $1s$-состоянии - вообще линейный, получается?

[Helium]

Munin в сообщении #585659 писал(а):

Скажите, а в вашей терминологии, атом водорода в невозбуждённом $1s$-состоянии - вообще линейный, получается?

Хотя водород темы не касается но нет не линейный.

[lel0lel]

Выводы неожиданные, ничего не скажешь. Ничего, что основное состояние соответствует нулевому орбитальному моменту и, следовательно, s-волне.

[Helium]

lel0lel в сообщении #585671 писал(а):

Выводы неожиданные, ничего не скажешь. Ничего, что основное состояние соответствует нулевому орбитальному моменту и, следовательно, s-волне.

Ребята не надо грузить меня умной терминологией я не знаю что такое s-волна я даже и не физик.
Если я не прав так и скажите Борис ты не прав

А все остальное правильно?