Исследовать ряды на сходимость (сложные)

[samuil]

Исследовать ряды на сходимость (сложные)

1) $\displaystyle\sum a_n=\displaystyle\sum(-1)^n\int_0^{\pi n}\dfrac{\sin x}{x}dx$

Тут внутри стоит несобственный интеграл, который, вроде как сходится.

На бесконечности, должен стремиться к нулю. Однако $|a_{n+1}|-|a_{n}|=\displaystyle\int_0^{\pi}\dfrac{\sin x}{x}dx>0$

Походу по Лейбницу он расходится.

Как это все грамотно обосновать и верно ли это?

2) $\displaystyle\sum a_n=\displaystyle\sum (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\dfrac{1}{\sqrt{n}}$

Как влияет такая жуткая степень на ответ? Мне кажется, что это Лейбниц и ряд сходится, но степень настораживает. $\frac{n(n-1)}{2}=1+...+n-1$


3) $\displaystyle\sum \dfrac{2^n\cdot (n!)^2}{4\cdot 11\cdot (2n^2+n+1)}$

Здесь только формула Стирлинга пока что вспоминается, что тут примерно можно сделать?

[ИСН]

В первом проверьте условие ещё раз.
Во втором выпишите знаки первых 10-20 членов, там можно заметить нечто.
В третьем пф.

[samuil]

ИСН в сообщении #585243 писал(а):

В первом проверьте условие ещё раз.
Во втором выпишите знаки первых 10-20 членов, там можно заметить нечто.
В третьем пф.

1) Да, забыл $dx$

$\displaystyle\sum a_n=\displaystyle\sum(-1)^n\int_0^{\pi n}\dfrac{\sin x}{x}dx$

2) Начинаю с $n=1$

$+--++--++-$

Два плюса и один минус получается так. Единственное, что приходит в голову заменить $k=n/2$

тогда должно быть так $\displaystyle\sum (-1)^k\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{k}}$

3) По запросу "пф" гугл выдал "Пенсионный фонд"

[ИСН]

1) Теперь опять проверьте условие ещё раз. Если всё верно, то знаете ли, чему равен $\int\limits_0^\infty{\sin x\over x}dx$?
2) Так, значит, 10 мало. Выпишите 15. И в любом случае заменить $k=n/2$ нельзя, ведь n пробегает по каким числам? а k тогда будет по каким?
3) "пф" - это звук, выражающий пренебрежение.

[samuil]

ИСН в сообщении #585262 писал(а):

1) Теперь опять проверьте условие ещё раз. Если всё верно, то знаете ли, чему равен $\int\limits_0^\infty{\sin x\over x}dx$?
2) Так, значит, 10 мало. Выпишите 15. И в любом случае заменить $k=n/2$ нельзя, ведь n пробегает по каким числам? а k тогда будет по каким?
3) "пф" - это звук, выражающий пренебрежение.

1) Все верно. Не знаю... А вроде как его никакой заменой в лоб не взять...

2)

1-
1+2=3-
1+2+3=6+
1+2+3+4=10+
1+2+3+4+5=15-
1+2+3+4+5+6=21-
1+2+3+4+5+6+7=28+
1+2+3+4+5+6+7+8=36+
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45-
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55-
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66+
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78+
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=91-
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14=105-
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15=120+
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=136+

[ИСН]

1) Да. Значит, прочитайте в книгах или ещё где-нибудь (http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_integral). Он довольно известный.
2) Зачем здесь эти промежуточные вычисления? Я просил только знаки. Видите закономерность?

[Shtorm]

samuil в сообщении #585277 писал(а):

... А вроде как его никакой заменой в лоб не взять...

Ну правильно, ведь неопределённый интеграл $\int{\sin x\over x}dx$ - это неберущийся интеграл. А вот как определённый интеграл он известен как интегральный синус. И некоторые его свойства известны.

$\int\limits_0^{+\infty}{\sin x\over x}dx=\frac {\pi}{2}$

[samuil]

1) Там есть свойство $0<\int\limits_0^{\pi}{\sin x\over x}dx<\pi$

2) Там через ++ , а потом два минуса, только это заметил....

[ИСН]

1) Это не очень интересно. А вот куда стремится общий член при $n\to\infty$...
2) Ну вот!

[samuil]

ИСН в сообщении #585301 писал(а):

1) Это не очень интересно. А вот куда стремится общий член при $n\to\infty$...
2) Ну вот!

1) К $\pi/2$, а значит ряд расходящийся, так как не выполнен необходимый признак сходимости, так?

2) А что в связи с этим можно сделать?

[ИСН]

1) (только немного не так: это модуль члена туда стремится, а не сам член).
2) Ну э. Если два последовательных члена одного знака считать за один...

[ewert]

samuil в сообщении #585239 писал(а):

Здесь только формула Стирлинга пока что вспоминается, что тут примерно можно сделать?

Попытаться применить признак Даламбера. А когда он провалится -- плавно перейти к признаку Раабе, последний уже пройдёт.

[samuil]

ИСН в сообщении #585309 писал(а):

1) (только немного не так: это модуль члена туда стремится, а не сам член).
2) Ну э. Если два последовательных члена одного знака считать за один...

Может тогда разбить на 2 ряда? Или тут про четность и нечетность?

[ИСН]

А может, и разбить на два ряда. Только это с умом надо. А то можно тоже так разбить, знаете, все плюсы - сюда, все минусы - туда, эти оба разбегаются, а мы сидим такие в непонятках.

[samuil]

ИСН в сообщении #585324 писал(а):

А может, и разбить на два ряда. Только это с умом надо. А то можно тоже так разбить, знаете, все плюсы - сюда, все минусы - туда, эти оба разбегаются, а мы сидим такие в непонятках.

Спасибо!

$\displaystyle\sum (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\displaystyle\sum (-1)^{2k}\dfrac{1}{\sqrt{2k}}+\displaystyle\sum (-1)^{2k-1}\dfrac{1}{\sqrt{2k-1}}$

Можно так? Это нам поможет?

-- 15.06.2012, 14:37 --

ewert в сообщении #585318 писал(а):

samuil в сообщении #585239 писал(а):

Здесь только формула Стирлинга пока что вспоминается, что тут примерно можно сделать?

Попытаться применить признак Даламбера. А когда он провалится -- плавно перейти к признаку Раабе, последний уже пройдёт.

Спасибо.

По Даламберу получается 1, поэтому Раабе?

$\displaystyle\sum \dfrac{2^n\cdot (n!)^2}{4\cdot 11\cdot (2n^2+n+1)}$

Раабе так?

$$\lim_{n\to \infty}n\Big( \dfrac{2^n\cdot (n!)^2}{4\cdot 11\cdot (2n^2+n+1)}\cdot \dfrac{4\cdot 11\cdot (2n^2+5n+3)}{2\cdot 2^n\cdot (n+1)!)^2}-1\Big)=\lim_{n\to \infty}n\Big( \dfrac{2n^2+5n+3}{2\cdot (n+1)^2}-1\Big)=$$

$$=\lim_{n\to \infty}n\Big( \dfrac{2n^2+5n+3-2n^2-4n-2}{2\cdot (n+1)^2}\Big)=\lim_{n\to \infty}n\Big( \dfrac{n+1}{2\cdot (n+1)^2}\Big)=\lim_{n\to \infty}n\Big( \dfrac{1}{2\cdot (n+1)}\Big)=0,5$$

Значит расходится?