Исследовать ряды на сходимость (сложные)

[Joker_vD]

samuil в сообщении #585347 писал(а):

По Даламберу получается 1

А покажите, а? И вообще, причем тут д'Аламбер и Раабе, если невооруженным глазом видно, что общий член ряда неограниченно возрастает? В числителе — экспонента и факториал, а в знаменателе — жалкий квадрат...

[ewert]

samuil в сообщении #585347 писал(а):

Значит расходится?

Значит да.

Joker_vD в сообщении #585352 писал(а):

а в знаменателе — жалкий квадрат...

В знаменателе, кроме квадрата, подразумевается ещё и многоточие, иначе знаменатель выглядит бессмысленным. Просто оно где-то потерялось.

[ИСН]

ИСН в сообщении #585324 писал(а):

А то можно тоже так разбить, знаете, все плюсы - сюда, все минусы - туда, эти оба разбегаются, а мы сидим такие в непонятках.

Надо ли нам стремиться к такой ситуации?

samuil в сообщении #585347 писал(а):

$(-1)^{2k}$

Чему равна эта величина при разных k?

[samuil]

ИСН в сообщении #585375 писал(а):

ИСН в сообщении #585324 писал(а):

А то можно тоже так разбить, знаете, все плюсы - сюда, все минусы - туда, эти оба разбегаются, а мы сидим такие в непонятках.

Надо ли нам стремиться к такой ситуации?

samuil в сообщении #585347 писал(а):

$(-1)^{2k}$

Чему равна эта величина при разных k?

$(-1)^{2k}=1$

$(-1)^{2k-1}=-1$

$$\displaystyle\sum (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\displaystyle\sum (-1)^{2k}\dfrac{1}{\sqrt{2k}}+\displaystyle\sum (-1)^{2k-1}\dfrac{1}{\sqrt{2k-1}}=$$

$$=\displaystyle\sum \Big(\dfrac{1}{\sqrt{2k}} - \dfrac{1}{\sqrt{2k-1}}\Big)=\displaystyle\sum \Big(\dfrac{\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k}}{\sqrt{2k}\cdot \sqrt{2k-1}}\Big)$$

$$\displaystyle\sum \Big(\dfrac{-1}{\sqrt{2k}\cdot \sqrt{2k-1}(\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k})}\Big)$$

А это ряд сходится, так как он сравним с $\displaystyle\sum \frac{1}{k^{3/2}}$ . Верны ли рассуждения? Вроде как не разбежалось все...

Или под разбежалось - имелось ввиду, что я я разбил на два разбегающихся ряда, а этого лучше было не делать?

[ИСН]

samuil в сообщении #585392 писал(а):

Или под разбежалось - имелось ввиду, что я я разбил на два разбегающихся ряда, а этого лучше было не делать?

Именно так.
Но Ваше разбиение не только излишне - оно ещё и неверно.

[samuil]

ИСН в сообщении #585394 писал(а):

samuil в сообщении #585392 писал(а):

Или под разбежалось - имелось ввиду, что я я разбил на два разбегающихся ряда, а этого лучше было не делать?

Именно так.
Но Ваше разбиение не только излишне - оно ещё и неверно.

Спасибо. А так будет верно?

$$\displaystyle\sum (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\dfrac{1}{\sqrt{n}}=$$

$$=\displaystyle\sum \Big(\dfrac{1}{\sqrt{2k}} - \dfrac{1}{\sqrt{2k-1}}\Big)=\displaystyle\sum \Big(\dfrac{\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k}}{\sqrt{2k}\cdot \sqrt{2k-1}}\Big)$$

$$\displaystyle\sum \Big(\dfrac{-1}{\sqrt{2k}\cdot \sqrt{2k-1}(\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k})}\Big)$$

А это ряд сходится, так как он сравним с $\displaystyle\sum \frac{1}{k^{3/2}}$ .

[ИСН]

Может обсуждаться после того, как Вы опишете, в каких отношениях между собой состоят это k и то n.

-- Пт, 2012-06-15, 16:58 --

Или с другой стороны. Ваше разбиение подразумевает, что ${1\over\sqrt2},\,{1\over\sqrt4},\,{1\over\sqrt6},\,{1\over\sqrt8}$ и т.д. - все они входят в ряд со знаком плюс. Так ли это?

[samuil]

Когда я брал четную степень $2k=\frac{n(n-1)}{2}$, значит $k=\frac{n(n-1)}{4}$ (ух, значит число $\frac{n(n-1)}{4}$ должно быть целым...)

Когда нечетную - $2k+1=\frac{n(n-1)}{2}$

Чего-то я запутался...

-- 15.06.2012, 19:12 --

ИСН в сообщении #585398 писал(а):

Или с другой стороны. Ваше разбиение подразумевает, что ${1\over\sqrt2},\,{1\over\sqrt4},\,{1\over\sqrt6},\,{1\over\sqrt8}$ и т.д. - все они входят в ряд со знаком плюс. Так ли это?

Оказывается, что нет....

[samuil]

При таком разбиении не получается по-человечески что-то выразить, по-моему, все-таки нужно иначе комбинировать этот ряд $\displaystyle\sum (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\dfrac{1}{\sqrt{n}}$

[ИСН]

При каком "таком"? Я пока ни одного разбиения не видел. То есть какие-то были, но не от этого ряда.

[samuil]

Если в выражении $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}$ сделать замену $n=2k$ будет $(-1)^{{k(2k-1)}}=(-1)^k$

Если в выражении $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}$ сделать замену $n=2k+1$ будет $(-1)^{k(2k+1)}=(-1)^k$

Получается, что четность $k$ означает четность $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}$.

Что-то мне кажется бредом, что я написал, но пока что не очевидно - в каком направлении думать.

Да, закономерность ++--++--++-- прослеживается, но пока не могу сделать выводы из этого нормальные

[ИСН]

Сделать замену - это очень сложно, практически за пределами восприятия. Скажите словами по-русски, на какие ряды Вы хотите его разбить.

[samuil]

Если по-русски, то не знаю. Быть может на четыре ряда, которые я описал ниже

У нас повторяется конструкция $++--$

Поэтому можно взять

+ 1) $\frac{n(n+1}{2}}=4k$

- 2) $\frac{n(n+1}{2}}=4k-1$

+ 3) $\frac{n(n+1}{2}}=4k-2$

- 4) $\frac{n(n+1}{2}}=4k-3$

[ИСН]

Ещё раз, пожалуйста, медленно и без формул, а то получается хрень какая-то. Можете пользоваться описательными терминами типа "каждый четвёртый".

[samuil]

ИСН в сообщении #585660 писал(а):

Ещё раз, пожалуйста, медленно и без формул, а то получается хрень какая-то. Можете пользоваться описательными терминами типа "каждый четвёртый".

Каждый четвертый член имеет один и тот же знак.