Исследовать ряды на сходимость (сложные)

[ИСН]

Так. И что Вы предлагаете сделать с первоначальным рядом? Разбить его на два или более рядов? На какие именно?

[samuil]

ИСН в сообщении #585674 писал(а):

Так. И что Вы предлагаете сделать с первоначальным рядом? Разбить его на два или более рядов? На какие именно?

Хочется на 2 ряда, чтобы потом под одним общим знаком суммы привести к общему знаменателю и применить признак сравнения. Но весь вопрос в том - как разбить на 2 ряда

[ИСН]

Ну, ищите. Это (разбивать на два) не моя была идея, если что.

[samuil]

ИСН в сообщении #585763 писал(а):

Ну, ищите. Это (разбивать на два) не моя была идея, если что.

Хорошо. Я начал выписывать "в лоб", а потом группировать соседние члены.

$$1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}}-\dfrac{1}{\sqrt{6}}-\dfrac{1}{\sqrt{7}}+\dfrac{1}{\sqrt{8}}+\dfrac{1}{\sqrt{9}}+...$$

$$1-\Big(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Big)+\Big(\dfrac{1}{\sqrt{4}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}}\Big)-\Big(\dfrac{1}{\sqrt{6}}+\dfrac{1}{\sqrt{7}}\Big)+\Big(\dfrac{1}{\sqrt{8}}+\dfrac{1}{\sqrt{9}}\Big)+...$$

Тогда исходную сумму можно переписать в виде:

$\displaystyle\sum (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\dfrac{1}{\sqrt{n}}=1+\displaystyle\sum (-1)^k A_k$

$A_k=\Big(\dfrac{1}{\sqrt{n}}+\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\Big)$

Можно ли в этом направлении двигаться или так не получится? Только опять вопрос возникает - как связаны $k$ и $n$

[ИСН]

Ровно это я с самого начала и предлагал. А двигаться дальше можно после того, как Вы придумаете способ это записывать формулой. Имеющийся способ записи никуда не годится. В нём фигурирует, например, некая величина $A_k$, не зависящая от $k$, зато зависящая непонятно от чего.

-- Сб, 2012-06-16, 18:26 --

Да-да, вот этот самый проклятый вопрос.

[samuil]

Кажется, придумал.

$$1-\Big(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Big)+\Big(\dfrac{1}{\sqrt{4}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}}\Big)-\Big(\dfrac{1}{\sqrt{6}}+\dfrac{1}{\sqrt{7}}\Big)+\Big(\dfrac{1}{\sqrt{8}}+\dfrac{1}{\sqrt{9}}\Big)+...$$

$$1+(-1)^1\Big(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Big)+(-1)^2\Big(\dfrac{1}{\sqrt{4}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}}\Big)+(-1)^3\Big(\dfrac{1}{\sqrt{6}}+\dfrac{1}{\sqrt{7}}\Big)+...+(-1)^{n}\Big(\dfrac{1}{\sqrt{2n}}+\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}\Big)+...$$

Через сумму

$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\dfrac{1}{\sqrt{n}}=1+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n}\Big(\dfrac{1}{\sqrt{2n}}+\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}\Big)$

[ИСН]

[samuil]

Если это правильно, тогда по Лейбницу сходится по понятным причинам. Но мне кажется, что здесь подвох где-то, не должно быть так все просто....

-- 16.06.2012, 18:59 --

ИСН в сообщении #585778 писал(а):

:appl:

ООО! Классно, спасибо за помощь!

[AlexValk]

samuil в сообщении #585773 писал(а):

ажется, придумал.

$$1-\Big(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Big)+\Big(\dfrac{1}{\sqrt{4}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}}\Big)-\Big(\dfrac{1}{\sqrt{6}}+\dfrac{1}{\sqrt{7}}\Big)+\Big(\dfrac{1}{\sqrt{8}}+\dfrac{1}{\sqrt{9}}\Big)+...$$

В конце нужно будет сделать некоторое дополнительное обоснование со ссылкой на то, что общий член ряда стремиться к нулю. Без этого такие же фокусы с группировкой "доказывают" и сходимость ряда $1-1+1-1+1-1+1+\dots=(1-1)+(1-1)+\dots=0+0+0+\dots.=0.$

[ИСН]

Члены одного знака можно группировать безо всяких. Но вообще-то да, это надо либо доказывать, либо знать, где лежит.