Дано натуральное число

.
Доказать, что существует натуральное число, кратное

, сумма цифр которого (в десятичной записи) нечётна.
(Попытка)
Есть такая древняя задача: "Первоклассник Петя знает только цифру 1, сможет ли он написать число, делящееся на...скажем, 2011?".
Вспомнив эту древнюю задачу, я стала решать по аналогии.
Рассмотрим числа:

Отдирихлим их на остаток по модулю

- какие-то два из них дадут одинаковый остаток. Возьмём эти два и вычтем из большего меньшее - получим число, кратное

, сумма цифр которого нечётна, как и требовалось в исходной задаче.
А вот официальное решение, в котором рассматриваются два различных случая (что навело меня на мысль об ошибке в моём решении):
http://problems.ru/view_problem_details ... p?id=98145Так где же у меня ошибка?