Нечётная сумма цифр, можно ли так решать?

[Ktina]

Дано натуральное число $n$.
Доказать, что существует натуральное число, кратное $n$, сумма цифр которого (в десятичной записи) нечётна.

(Попытка)

Есть такая древняя задача: "Первоклассник Петя знает только цифру 1, сможет ли он написать число, делящееся на...скажем, 2011?".
Вспомнив эту древнюю задачу, я стала решать по аналогии.

Рассмотрим числа:

$$3, 32, 322, 3222, \dots $$

Отдирихлим их на остаток по модулю $n$ - какие-то два из них дадут одинаковый остаток. Возьмём эти два и вычтем из большего меньшее - получим число, кратное $n$, сумма цифр которого нечётна, как и требовалось в исходной задаче.

А вот официальное решение, в котором рассматриваются два различных случая (что навело меня на мысль об ошибке в моём решении): http://problems.ru/view_problem_details ... p?id=98145

Так где же у меня ошибка?

[Nemiroff]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #585055 писал(а):

Отдирихлим

Так мило звучит... Отдирихлите его! Еще овыпуклить неплохо.

[ex-math]

Я ошибки не вижу.
Ваше решение изящно, не то что "официальное".

[Ktina]

ex-math в сообщении #585059 писал(а):

Я ошибки не вижу.
Ваше решение изящно, не то что "официальное".

Спасибо!

[svv]

И я не вижу. Да, красивое решение!

[Ktina]

svv в сообщении #585128 писал(а):

И я не вижу. Да, красивое решение!

И Вам спасибо!

[temp03]

Олимпиадное решение у автора. Можно было б в олимпиадный запостить, с формулировкой "доказать в три строчки"

[Ktina]

temp03 в сообщении #585158 писал(а):

Олимпиадное решение у автора. Можно было б в олимпиадный запостить, с формулировкой "доказать в три строчки"

(Оффтоп)

Это уже от глубокоуважаемого модератора зависит
Я в перемещениях тем не сильна...

[Коровьев]

Ktina в сообщении #585055 писал(а):

(Попытка)

...получим число кратное $n$, сумма цифр которого нечётна, как и требовалось в исходной задаче.

С этим ЧЕ я вот, так и не понял.
Почему сумма цифр должна быть нечётна, а не чётна?
Можно поподробней?

[temp03]

$32222-322=31900$ сумма цифр нечётна. ФиЖка такая, я тоже вначале не въехал.

[Коровьев]

Я сегодня с утра, как встал, так сразу и понял.
Вот они, футболы-то. Напрочь отбивают арифметические навыки вычитания столбиком.

[TOTAL]

Если число $n$ (последняя цифра не ноль) имеет $(2k+1)$ знаков, то у чиcла $n \cdot (10^{2k+1}-1)$ сумма цифр нечетна.

[Руст]

Я то же примерно такое решение послал автору. По ее просьбе, публикую.
Пусть k - количество цифр М и $S=S((10^k-1)M)$ - сумма цифр. Тогда $S_n=S((10^{k+n}-1)M)=S+9n$.
Если задано число N не делящееся на 3 (в нашем случае 2) и остаток $r$ (в нашем случае 1), мы можем выбрать n, так, чтобы $S_n=S+9n=r\mod N$.

[temp03]

(Оффтоп)

Коровьев, ну и что, главное что у наших 4 очка, греков выиграем и в плейофф! Главное чтобы не расслаблялись

[Руст]

Точнее $S((10^n-1)M)=9n$ при $n\ge k$, где $k$ количество оставшихся цифр числа М после вычеркивания последних нулей.
В связи с этим возникает более интересная задача:
Доказать, что для любого M, существует число k, такое что для любого n>=k и делящегося на 3 если М делится на 3 и делящегося на 9, если М делится на 9, существует бесконечно много кратных Мm с суммой цифр $S(Mm)=n$.

-- Пт июн 15, 2012 17:29:32 --