Целочисленные треугольники равных периметров с равным углом

[Nikolai Moskvitin]

Здравствуйте! В конце мая 2012 я сформулировал проблему: найти все целочисленные треугольники, у которых равны периметры и они имеют равные углы, но при этом не равны друг другу.
Комментарий 1. Здесь не будет подобных треугольников, иначе бы треугольники были разных периметров. Ясно, что имеются в виду различные треугольники.
Комментарий 2. Первый такой треугольник- треугольник с периметром 15: 3,7,8 и 5,5,5.
Комментарий 3.
Можно попробовать применить теорему косинусов, но что делать с полученным выражением?
Например, пусть стороны одного треугольника- m,n,k, второго- p,q,r. Тогда получится система:
$\frac{m^2+n^2-k^2}{2mn}=\frac{q^2+r^2-p^2}{2qr}$ и $m+n+k=p+q+r$
Допустим, я найду все решения. Как определить, для каких периметров решение будет существовать и сколько решений будет существовать? Что если воспользоваться неравенством треугольника? Даст ли оно требуемый результат?
С уважением, Николай

[Praded]

Что-то у вас неладное с периметрами треугольников.

[Nikolai Moskvitin]

Да! Не 5,5,5,а 6,6,6.

[hurtsy]

Nikolai Moskvitin в сообщении #582886 писал(а):

Да! Не 5,5,5,а 6,6,6.

То есть правильно будет

Nikolai Moskvitin в сообщении #582621 писал(а):

Комментарий 2. Первый такой треугольник- треугольник с периметром 18: 3,7,8 и 6,6,6.

Для периметра 18 у вас есть решение. Наверно можно программно перебрать все возможности и выяснить есть ли ещё решения для периметра 18.
Имхо ваша система диофантова степени 4. Матиясевич доказал алгоритмическую неразрешимость десятой проблемы Гильберта. Если у вас есть желание программировать, можно. Я бы не решал такую задачу. С уважением,

[scwec]

Напишите длины сторон целочисленного треугольника, один из углов которого $\frac{2\pi}{3}$.

[Nikolai Moskvitin]

3,5,7...я только этот знаю
С уважением, Николай

[nnosipov]

Nikolai Moskvitin в сообщении #584479 писал(а):

3,5,7...я только этот знаю

Вообще их бесконечно много, попробуйте найти все такие треугольники.

[Nikolai Moskvitin]

Все пока не нашёл, но продвинулся: $p^2+q^2+pq=r^2$, следовательно $(p+q)^2-pq=r^2$, следовательно $(p+q)^2-r^2=pq$. Если предположить, что в правой части квадрат (что вовсе не обязательно), легко найти обычные Пифагоровы тройки.
А вообще совсем не умею решать Диофантовы уравнения. Как раз собирался этим летом изучить.
С уважением, Николай

[nnosipov]

Nikolai Moskvitin в сообщении #584807 писал(а):

$p^2+q^2+pq=r^2$

Это уравнение в натуральных числах решается также, как и уравнение Пифагора. Кстати, в простых числах оно имеет единственное решение (то, которое Вам известно).

[Nikolai Moskvitin]

Вроде почти нашёл, только аналитически (т.е. непосредственной формулы мне найти не удалось, у меня есть сведения только про решения $a^2=b^2+c^2$. Тем не менее, применив утверждение Ферма, получил что-то близкое:$2r^2+pq=(4mn+12n)^{2k}$ и $(p+q)^2+r^2=(4mn+12n)^{2k}$в равенстве $(p+q)^2+r^2=pq+2r^2$. Если бы я нашёл третье условие (два уже есть), мне бы удалось найти формулу. Подскажите, что делать дальше.

[nnosipov]

Что-то Вы мудрите. Лучше вспомните, как находятся все пифагоровы тройки методом секущих (если не знакомы с этим методом, прочитайте где-нибудь про него, он интересен и сам по себе).

[Nikolai Moskvitin]

Я доказал "теорему": никакое произведение двух сторон целочисленного треугольника с углом 120 не является квадратом натурального числа. :) Доказательство: из всех возможных вариантов решений пифагоровых троек подходят только два (так как p+q>r): $p+q=m^+n^2$, $r=2mn$ и $pq=m^2-n^2$ и $p+q=m^2+n^2$, $r=m^2-n^2$, $pq=2mn$. В первом случае $q=\frac{2m^2-p}{p+1}$, во втором $q=\frac{(m+n)^2-p}{p+1}$.В первом случае из-за несоответствия чётности/нечётности целых чисел не получится. Во втором случае не получится, так как $p+q<pq$ (ясно, что для данного треугольника это верно всегда), a $m^2+n^2>2mn $

А если серьёзно, то не могу справиться с той задачей. Тему разложения целого числа на два квадрата уже разбирали...но там я формул не нашёл.


С уважением, Николай

[nnosipov]

Посмотрите брошюру http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books ... book.8.pdf

[scwec]

Чтобы при проведении секущих полностью соответствовать примерам из брошюры, которую рекомендовал nnosipov, полезно будет теорему косинусов $z^2=x^2+y^2-2xy\cos\varphi$ записать в виде
$z^2=(x-y)^2{\cos}^2\frac{\varphi}{2}+(x+y)^2{\sin}^2\frac{\varphi}{2}$.
Таким образом будут получены все рациональные стороны треугольников с углом $\varphi$, а, следовательно, и все целые стороны (умножением на общий знаменатель).
По поводу одинаковых периметров можно доказать следующее утверждение.
Если $\cos\varphi$ - рациональное число, то для любого натурального $N$ существует $N$ целочисленных треугольников с одним из углов $\varphi$ и одинаковыми периметрами.

[Nikolai Moskvitin]

scwec в сообщении #585049 писал(а):

Чтобы при проведении секущих полностью соответствовать примерам из брошюры, которую рекомендовал nnosipov, полезно будет теорему косинусов $z^2=x^2+y^2-2xy\cos\varphi$ записать в виде
$z^2=(x-y)^2{\cos}^2\frac{\varphi}{2}+(x+y)^2{\sin}^2\frac{\varphi}{2}$.
Таким образом будут получены все рациональные стороны треугольников с углом $\varphi$, а, следовательно, и все целые стороны (умножением на общий знаменатель).
По поводу одинаковых периметров можно доказать следующее утверждение.
Если $\cos\varphi$ - рациональное число, то для любого натурального $N$ существует $N$ целочисленных треугольников с одним из углов $\varphi$ и одинаковыми периметрами.

Спасибо большое! Только поясните, что означает N? Неужели для периметра 18 существует 18 треугольников? Может быть, Вы имели в виду все треугольники с равными углами, т.е. все их множества, а не множество треугольников с одним равным углом?

-- 14.06.2012, 21:03 --

Кстати, можно получить нижнюю границу для $\sin a$в целочисленном треугольнике с данным периметром. Можно доказать, что $R>\frac{4\sin^2 a}{3\sqrt{3}}$, где $R$-радиус описанной окружности треугольника. Только по-моему, я впал в какой-то казус. Формула верная, но вот даёт ли она нижнюю границу? Я выдвигаю гипотезу: чем больше отличаются стороны треугольника данного периметра от сторон равностороннего ( с тем же периметром), тем меньше его площадь. Тогда продолжение задачи: найти границы для $\sin a$ в целочисленном треугольнике данного периметра (через значение самого периметра).Можете использовать следующую лемму: целочисленный треугольник со стороной 1-равнобедренный. Очевидно, это только для нечётного периметра. Вот для этого случая я предположу, что по нему-то и надо определять границы. Для чётного пока не знаю.

С уважением, Николай