Итак: надо доказать, что выражение

не выполняется при любых

взаимно простые числа и

Пусть

Соответственно, если X,Y,Z-взаимно простые числа, то и их сомножители тоже взаимно простые числа.
После преобразований выражений(1-3) получаем:

Получили утроенное произведение трёх взаимно простых сомножителей равное кубу.
Отсюда следует, что два из трех сомножителей всегда кубы, а третий имеет вид

Рассмотрим все 3 возможных варианта:
1 вариант: Предположим, что кратен 3 сомножитель

, тогда имеем:


Далее

Далее

Так как


тогда получаем из (19) и (20):

Решения уравнения

представляют собой семейство кривых, минимальное значение в положительной области
2 вариант: сомножитель

кратен 3, что противоречит начальным условиям, так как
3 вариант: кратен 3 сомножитель

, тогда
проведя преобразования, аналогичные преобразованиям для 1 варианта, получаем итоговое выражение:

Решения уравнения

представляют собой семейство кривых, минимальное значение в положительной области

Таким образом нет целых решений для
