2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Простейший случай для n =3
Сообщение14.06.2012, 11:57 


16/08/09
304
Итак: надо доказать, что выражение
$X^3  + Y^3  = Z^3 $

не выполняется при любых
$X,Y,Z \in N;X,Y,Z - $ взаимно простые числа и $Z = Y + 1
$

Пусть
$\begin{array}{l}
 Z - X = m_1 (1) \\ 
 Z - Y = k_1 (2) \\ 
 X + Y = t_1 (3) \\ 
 Z^3  = t_1 t_2 (4) \\ 
 Y^3  = m_1 m_2 (5) \\ 
 X^3  = k_1 k_2 (6) \\ 
 \end{array}
$

Соответственно, если X,Y,Z-взаимно простые числа, то и их сомножители тоже взаимно простые числа.
После преобразований выражений(1-3) получаем:

$\begin{array}{l}
 3k_1 m_1 t_1  = (t_1  - Z)^3 (7) \\ 
 3k_1 m_1 t_1  = (Y - m_1 )^3 (8) \\ 
 3k_1 m_1 t_1  = (X - k_1 )^3 (9) \\ 
 \end{array}
$

Получили утроенное произведение трёх взаимно простых сомножителей равное кубу.
Отсюда следует, что два из трех сомножителей всегда кубы, а третий имеет вид
$3^2 d^3 $
Рассмотрим все 3 возможных варианта:
1 вариант: Предположим, что кратен 3 сомножитель $m_1 $, тогда имеем:

$\begin{array}{l}
 Z - X = 9b_1^3 (10) \\ 
 Z - Y = a_1^3 (11) \\ 
 X + Y = c_1^3 (12) \\ 
 Z^3  = c_1^3 c_2^3 (13) \\ 
 Y^3  = 27b_1^3 b_2^3 (14) \\ 
 X^3  = a_1^3 a_2^3 (15) \\ 
 \end{array}
$

$\begin{array}{l}
 3a_1^3 (3^2 b_1^3 )c_1^3  = (c_1^3  - Z)^3 (16) \\ 
 3a_1^3 (3^2 b_1^3 )c_1^3  = (Y - 3^2 b_1^3 )^3 (17) \\ 
 3a_1^3 (3^2 b_1^3 )c_1^3  = (X - a_1^3 )^3 (18) \\ 
 \end{array}$

Далее

$\begin{array}{l}
 c_1^3  - 3a_1 b_1 c_1  = Z(19) \\ 
 3a_1 b_1 c_1  + 3^2 b_1^3  = Y(20) \\ 
 3a_1 b_1 c_1  + a_1^3  = X(21) \\ 
 \end{array}
$

Далее

$\begin{array}{l}
 3a_1 b_1  = c_1^2  - c_2 (22) \\ 
 a_1 c_1  = b_2  - 3b_1^2 (23) \\ 
 3b_1 c_1  = a_2  - a_1^2 (24) \\ 
 \end{array}
$

Так как $Z - Y = 1$

$\begin{array}{l}
 3b_1  = c_1^2  - c_2 (25) \\ 
 c_1  = b_2  - 3b_1^2 (26) \\ 
 3b_1 c_1  = a_2  - 1(27) \\ 
 \end{array}
$

тогда получаем из (19) и (20):

$c_1^3  - 3^2 b_1^3  - 6b_1 c_1  = 1(28)
$

Решения уравнения
$c_1^3  - 3^2 b_1^3  - 6b_1 c_1  - p = 0(29)$
представляют собой семейство кривых, минимальное значение в положительной области
$p = 187 > 1$

2 вариант: сомножитель $k_1 $ кратен 3, что противоречит начальным условиям, так как $Z - Y = k_1  = 1$

3 вариант: кратен 3 сомножитель $t_1 $, тогда
проведя преобразования, аналогичные преобразованиям для 1 варианта, получаем итоговое выражение:

$9c_1^3  - b_1^3  - 6b_1 c_1  = 1(30)
$

Решения уравнения
$9c_1^3  - b_1^3  - 6b_1 c_1  - s = 0(31)$

представляют собой семейство кривых, минимальное значение в положительной области
$s = 29 > 1$

Таким образом нет целых решений для
$X^3  + Y^3  = (Y + 1)^3 $

 Профиль  
                  
 
 Re: Простейший случай для n =3
Сообщение14.06.2012, 12:32 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Belfegor в сообщении #584842 писал(а):
Решения уравнения
$c_1^3 - 3^2 b_1^3 - 6b_1 c_1 - p = 0(29)$
представляют собой семейство кривых, минимальное значение в положительной области
$p = 187 > 1$
В чём смысл этой загадочной фразы? Поясните.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простейший случай для n =3
Сообщение14.06.2012, 12:48 


16/08/09
304
nnosipov в сообщении #584863 писал(а):
Belfegor в сообщении #584842 писал(а):
Решения уравнения
$c_1^3 - 3^2 b_1^3 - 6b_1 c_1 - p = 0(29)$
представляют собой семейство кривых, минимальное значение в положительной области
$p = 187 > 1$
В чём смысл этой загадочной фразы? Поясните.


При любых натуральных $b_1 $ и $c_1 $
разница $ c_1^3  - 3^2 b_1^3  - 6b_1 c_1$ имеет минимальное положительное значение 187

 Профиль  
                  
 
 Re: Простейший случай для n =3
Сообщение14.06.2012, 12:54 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Belfegor в сообщении #584869 писал(а):
При любых натуральных $b_1 $ и $c_1 $
разница $ c_1^3 - 3^2 b_1^3 - 6b_1 c_1$ имеет минимальное положительное значение 187
И откуда же это следует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простейший случай для n =3
Сообщение14.06.2012, 13:13 


15/12/05
754
У меня получилось так:

если $c_1^3-3^2b_1^3-6b_1c_1=1$, т о:
при $b_1=1$ есть приблизительное решение $c_1 \approx 3,04668032415$
при $b_1=2$ есть приблизительное решение $c_1 \approx 5,1233326935355$

 Профиль  
                  
 
 Re: Простейший случай для n =3
Сообщение14.06.2012, 14:16 


16/08/09
304
nnosipov в сообщении #584873 писал(а):
Belfegor в сообщении #584869 писал(а):
При любых натуральных $b_1 $ и $c_1 $
разница $ c_1^3 - 3^2 b_1^3 - 6b_1 c_1$ имеет минимальное положительное значение 187
И откуда же это следует?

Решения этого уравнения представляют собой бесконечное семейство кривых с минимальной точкой 187 и аналогично 29 для второго уравнения

-- Чт июн 14, 2012 15:17:54 --

ananova в сообщении #584883 писал(а):
У меня получилось так:

если $c_1^3-3^2b_1^3-6b_1c_1=1$, т о:
при $b_1=1$ есть приблизительное решение $c_1 \approx 3,04668032415$
при $b_1=2$ есть приблизительное решение $c_1 \approx 5,1233326935355$

для натуральных чисел!

 Профиль  
                  
 
 Re: Простейший случай для n =3
Сообщение14.06.2012, 14:34 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Belfegor в сообщении #584909 писал(а):
Решения этого уравнения представляют собой бесконечное семейство кривых с минимальной точкой 187 и аналогично 29 для второго уравнения
Это заклинание не может служить доказательством.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простейший случай для n =3
Сообщение14.06.2012, 14:35 


15/12/05
754
Цитата:
ananova в сообщении #584883 писал(а):
У меня получилось так:

если $c_1^3-3^2b_1^3-6b_1c_1=1$, т о:
при $b_1=1$ есть приблизительное решение $c_1 \approx 3,04668032415$
при $b_1=2$ есть приблизительное решение $c_1 \approx 5,1233326935355$

для натуральных чисел!


Ну я не компьютер, там может и целые тоже встретятся.. их же очень много. Доказать не могу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простейший случай для n =3
Сообщение14.06.2012, 23:55 


16/08/09
304
nnosipov в сообщении #584928 писал(а):
Belfegor в сообщении #584909 писал(а):
Решения этого уравнения представляют собой бесконечное семейство кривых с минимальной точкой 187 и аналогично 29 для второго уравнения
Это заклинание не может служить доказательством.


Поясню подробнее. Во – первых указанные уравнения (28) и (30) анализировались при
$Z - $ нечетное, $Y - $ четное. При $Z - $ четное, $Y - $ нечетное - ситуация аналогичная.
Итак для $c_1^3  - 3^2 b_1^3  - 6b_1 c_1  - p = 0(29)$ получили семейство кривых 3 типов (см. таблицу, в ней показаны первые 7 кривых для положительной области). Прослеживается простая и понятная закономерность: кривая типа 0 – единственная (начальная область значений
$b_1 , c_1 $), далее чередуются кривые типа 1 и 2, целочисленные значения которых непрерывно возрастают.
Таблица.

$\begin{array}{*{20}c}
\hline
  \vline &  {\scriptstyle tip \hfill \atop 
  \scriptstyle krivoy \hfill} &\vline &  {nachalo} &\vline &  {konec} &\vline &  {\scriptstyle kolichestvo \hfill \atop 
  \scriptstyle celih znachenij \hfill} &\vline &  {} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {\scriptstyle 0 \hfill \atop 
  {\scriptstyle (neprerivnaja \hfill \atop 
  \scriptstyle s  \max imum) \hfill}} &\vline &  {187} &\vline &  {891} &\vline &  {12} &\vline &  {} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {\scriptstyle 1 \hfill \atop 
  {\scriptstyle (neprerivno \hfill \atop 
  \scriptstyle ubuvajshaja) \hfill}} &\vline &  {16829} &\vline &  {1125} &\vline &  {14} &\vline &  {} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {\scriptstyle 2 \hfill \atop 
  {\scriptstyle (neprerivno \hfill \atop 
  \scriptstyle ubuvajshaja) \hfill}} &\vline &  {67943} &\vline &  {8039} &\vline &  {13} &\vline &  {} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {\scriptstyle 1 \hfill \atop 
  {\scriptstyle (neprerivno \hfill \atop 
  \scriptstyle ubuvajshaja) \hfill}} &\vline &  {153169} &\vline &  {3929} &\vline &  {14} &\vline &  {} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {\scriptstyle 2 \hfill \atop 
  {\scriptstyle (neprerivno \hfill \atop 
  \scriptstyle ubuvajshaja) \hfill}} &\vline &  {267331} &\vline &  {21667} &\vline &  {13} &\vline &  {} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {\scriptstyle 1 \hfill \atop 
  {\scriptstyle (neprerivno \hfill \atop 
  \scriptstyle ubuvajshaja) \hfill}} &\vline &  {425781} &\vline &  {7597} &\vline &  {14} &\vline &  {} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {\scriptstyle 2 \hfill \atop 
  {\scriptstyle (neprerivno \hfill \atop 
  \scriptstyle ubuvajshaja) \hfill}} &\vline &  {597375} &\vline &  {40959} &\vline &  {13} &\vline &  {} \vline &  \\
\hline
\end{array}
$

Аналогичная картина получается и для
$9c_1^3  - b_1^3  - 6b_1 c_1  - s = 0(31)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Простейший случай для n =3
Сообщение15.06.2012, 13:04 


16/08/09
304
Вот в численных значениях первые шесть граничных кривых 1 типа в положительной области значений для (28)
Таблица 1


$
\begin{array}{*{20}c}
\hline
  \vline &  1 &\vline &  2 &\vline &  3 &\vline &  4 &\vline &  5 &\vline &  6 \vline &  \\
\hline
  \vline &  {{\bf{16829}}} &\vline &  {{\bf{153169}}} &\vline &  {{\bf{425781}}} &\vline &  {{\bf{833849}}} &\vline &  {{\bf{1376557}}} &\vline &  {{\bf{2053089}}} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {{\rm{18117}}} &\vline &  {{\rm{149}}0{\rm{81}}} &\vline &  {{\rm{4}}0{\rm{59}}0{\rm{1}}} &\vline &  {{\rm{787761}}} &\vline &  {{\rm{1293845}}} &\vline &  {{\rm{1923337}}} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {{\rm{19165}}} &\vline &  {{\rm{143937}}} &\vline &  {{\rm{384149}}} &\vline &  {{\rm{738985}}} &\vline &  {{\rm{12}}0{\rm{7629}}} &\vline &  {{\rm{1789265}}} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {{\rm{19925}}} &\vline &  {{\rm{137689}}} &\vline &  {{\rm{36}}0{\rm{477}}} &\vline &  {{\rm{687473}}} &\vline &  {{\rm{1117861}}} &\vline &  {{\rm{165}}0{\rm{825}}} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {{\rm{2}}0{\rm{349}}} &\vline &  {{\rm{13}}0{\rm{289}}} &\vline &  {{\rm{334837}}} &\vline &  {{\rm{633177}}} &\vline &  {{\rm{1}}0{\rm{24493}}} &\vline &  {{\rm{15}}0{\rm{7969}}} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {{\rm{2}}0{\rm{389}}} &\vline &  {{\rm{121689}}} &\vline &  {{\rm{3}}0{\rm{7181}}} &\vline &  {{\rm{576}}0{\rm{49}}} &\vline &  {{\rm{927477}}} &\vline &  {{\rm{136}}0{\rm{649}}} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {{\rm{19997}}} &\vline &  {{\rm{111841}}} &\vline &  {{\rm{277461}}} &\vline &  {{\rm{516}}0{\rm{41}}} &\vline &  {{\rm{826765}}} &\vline &  {{\rm{12}}0{\rm{8817}}} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {{\rm{19125}}} &\vline &  {{\rm{1}}00{\rm{697}}} &\vline &  {{\rm{245629}}} &\vline &  {{\rm{4531}}0{\rm{5}}} &\vline &  {{\rm{7223}}0{\rm{9}}} &\vline &  {{\rm{1}}0{\rm{52425}}} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {{\rm{17725}}} &\vline &  {{\rm{882}}0{\rm{9}}} &\vline &  {{\rm{211637}}} &\vline &  {{\rm{387193}}} &\vline &  {{\rm{614}}0{\rm{61}}} &\vline &  {{\rm{891425}}} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {{\rm{15749}}} &\vline &  {{\rm{74329}}} &\vline &  {{\rm{175437}}} &\vline &  {{\rm{318257}}} &\vline &  {{\rm{5}}0{\rm{1973}}} &\vline &  {{\rm{725769}}} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {{\rm{13149}}} &\vline &  {{\rm{59}}00{\rm{9}}} &\vline &  {{\rm{136981}}} &\vline &  {{\rm{246249}}} &\vline &  {{\rm{385997}}} &\vline &  {{\rm{5554}}0{\rm{9}}} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {{\rm{9877}}} &\vline &  {{\rm{422}}0{\rm{1}}} &\vline &  {{\rm{96221}}} &\vline &  {{\rm{171121}}} &\vline &  {{\rm{266}}0{\rm{85}}} &\vline &  {{\rm{38}}0{\rm{297}}} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {{\rm{5885}}} &\vline &  {{\rm{23857}}} &\vline &  {{\rm{531}}0{\rm{9}}} &\vline &  {{\rm{92825}}} &\vline &  {{\rm{142189}}} &\vline &  {{\rm{2}}00{\rm{385}}} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {{\bf{1125}}} &\vline &  {{\bf{3929}}} &\vline &  {{\bf{7597}}} &\vline &  {{\bf{11313}}} &\vline &  {{\bf{14261}}} &\vline &  {{\bf{15625}}} \vline &  \\
\hline
\end{array}
$

Чётко видно, как с ростом значений $b_1 , c_1$ идет последовательное смещение кривых 1 типа в области больших положительных значений. Легко определяются области значений $b_1 , c_1$

Таблица 2


$\begin{array}{*{20}c}
\hline
  \vline &  N &\vline &  {b_1 (1)} &\vline &  {c_1 (1)} &\vline &  {b_1 (14)} &\vline &  {c_1 (14)} \vline &  \\
\hline
  \vline &  1 &\vline &  {24} &\vline &  {53} &\vline &  {50} &\vline &  {105} \vline &  \\
\hline
  \vline &  2 &\vline &  {74} &\vline &  {157} &\vline &  {100} &\vline &  {209} \vline &  \\
\hline
  \vline &  3 &\vline &  {124} &\vline &  {261} &\vline &  {150} &\vline &  {313} \vline &  \\
\hline
  \vline &  4 &\vline &  {174} &\vline &  {365} &\vline &  {200} &\vline &  {417} \vline &  \\
\hline
  \vline &  5 &\vline &  {224} &\vline &  {469} &\vline &  {250} &\vline &  {521} \vline &  \\
\hline
\end{array}
$

В таблице 2 показаны начальные и конечные значения $b_1 , c_1$ для первых пяти кривых 1 типа. Значения для $b_1 $ повторяются с шагом 50, для $c_1$ с шагом 104. Аналогично и для кривых 2 типа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простейший случай для n =3
Сообщение15.06.2012, 14:38 


15/06/12
9
Цитата:
$X,Y,Z \in N;X,Y,Z - $ взаимно простые числа и $Z = Y + 1
$

Объясните, пожалуйста, почему это соотношение является обязательным условием. Разве не может быть других вариантов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простейший случай для n =3
Сообщение15.06.2012, 15:13 


16/08/09
304
vix в сообщении #585368 писал(а):
Цитата:
$X,Y,Z \in N;X,Y,Z - $ взаимно простые числа и $Z = Y + 1
$

Объясните, пожалуйста, почему это соотношение является обязательным условием. Разве не может быть других вариантов?


Выбран самый простой случай :D .Чем дальше в лес тем больше чисел, в смысле деревьев :shock:

-- Пт июн 15, 2012 17:02:35 --

Подведём предварительные итоги.
Итак решения $c_1^3  - 3^2 b_1^3  - 6b_1 c_1  - p = 0(29)$ представляют собой бесконечное множество отрицательных и положительных чисел ($Z - $нечетное, $Y - $четное. При $Z - $четное, $Y - $нечетное - ситуация аналогичная).
Нас интересовала граница перехода отрицательных чисел в положительные, ведь только там могло существовать мифическое значение $ p = 1$.
Определено, что множество положительных чисел отделяет от множества отрицательных чисел непрерывно чередующиеся кривые 1 и 2 типа (с минимальными положительными значениями).

Кривая 1 типа определяется следующими значениями $b_1 , c_1$:

$\begin{array}{l}
 b_1  = 50n + 24 + f_1 , n \in N, f_1  = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26\}  \\ 
 c_1  = 104n + 53 + r_1 , n \in N, r_1  = \{ 0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52\}  \\ 
 \end{array}
$


Кривая 2 типа определяется следующими значениями $b_1 , c_1$:

$\begin{array}{l}
 b_1  = 50n + 50 + f_2 , n \in N, f_2  = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24\}  \\ 
 c_1  = 104n + 107 + r_2 , n \in N, r_2  = \{ 0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48\}  \\ 
 \end{array}$

Для этих кривых минимальное значение $p = 187$ и с увеличением значений $b_1 , c_1$, граничные кривые 1 м 2 типа непрерывно смещаются в области всё больших положительных чисел.

Аналогичные закономерности получаются и для
$9c_1^3  - b_1^3  - 6b_1 c_1  - s = 0(31)$

Таким образом, нет целых решений для $X^3  + Y^3  = (Y + 1)^3 $

 Профиль  
                  
 
 Re: Простейший случай для n =3
Сообщение15.06.2012, 16:40 


15/06/12
9
Belfegor в сообщении #584842 писал(а):
$\begin{array}{l}
Z - Y = k_1 (2) \\ 
 \end{array}
$

А зачем вводить $k_1$ и дальше его использовать, если по Вашему условию $Z-Y=1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простейший случай для n =3
Сообщение15.06.2012, 16:43 


16/08/09
304
vix в сообщении #585413 писал(а):
Belfegor в сообщении #584842 писал(а):
$\begin{array}{l}
Z - Y = k_1 (2) \\ 
 \end{array}
$

А зачем вводить $k_1$ и дальше его использовать, если по Вашему условию $Z-Y=1$?


В общем виде вывел формулы, а потом учёл это дополнительное условие. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Простейший случай для n =3
Сообщение15.06.2012, 17:34 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Belfegor, ну и нагородили Вы здесь. Раз уж Вы апеллируете к каким-то кривым, дайте их чёткое определение. Что такое, например, кривая типа 1? Каким уравнением она задаётся? Выпишите это уравнение. Пока Вы не разъясните, что Вы имеете в виду, дальнейший разговор бессмыслен.

И ещё на будущее: когда Вы смотрите на какие-то таблицы и говорите, что что-то там "чётко видно", Вы должны, во-первых, внятно сформулировать подмеченную закономерность и, во-вторых, дать ей строгое обоснование (привести доказательство). Ни того, ни другого в Вашем тексте
Belfegor в сообщении #585335 писал(а):
Чётко видно, как с ростом значений $b_1 , c_1$ идет последовательное смещение кривых 1 типа в области больших положительных значений. Легко определяются области значений $b_1 , c_1$
не наблюдается.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 54 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group