Простейший случай для n =3

[Belfegor]

Итак: надо доказать, что выражение
$X^3 + Y^3 = Z^3 $

не выполняется при любых
$X,Y,Z \in N;X,Y,Z - $ взаимно простые числа и $Z = Y + 1 $

Пусть
$\begin{array}{l} Z - X = m_1 (1) \\ Z - Y = k_1 (2) \\ X + Y = t_1 (3) \\ Z^3 = t_1 t_2 (4) \\ Y^3 = m_1 m_2 (5) \\ X^3 = k_1 k_2 (6) \\ \end{array} $

Соответственно, если X,Y,Z-взаимно простые числа, то и их сомножители тоже взаимно простые числа.
После преобразований выражений(1-3) получаем:

$\begin{array}{l} 3k_1 m_1 t_1 = (t_1 - Z)^3 (7) \\ 3k_1 m_1 t_1 = (Y - m_1 )^3 (8) \\ 3k_1 m_1 t_1 = (X - k_1 )^3 (9) \\ \end{array} $

Получили утроенное произведение трёх взаимно простых сомножителей равное кубу.
Отсюда следует, что два из трех сомножителей всегда кубы, а третий имеет вид
$3^2 d^3 $
Рассмотрим все 3 возможных варианта:
1 вариант: Предположим, что кратен 3 сомножитель $m_1 $, тогда имеем:

$\begin{array}{l} Z - X = 9b_1^3 (10) \\ Z - Y = a_1^3 (11) \\ X + Y = c_1^3 (12) \\ Z^3 = c_1^3 c_2^3 (13) \\ Y^3 = 27b_1^3 b_2^3 (14) \\ X^3 = a_1^3 a_2^3 (15) \\ \end{array} $

$\begin{array}{l} 3a_1^3 (3^2 b_1^3 )c_1^3 = (c_1^3 - Z)^3 (16) \\ 3a_1^3 (3^2 b_1^3 )c_1^3 = (Y - 3^2 b_1^3 )^3 (17) \\ 3a_1^3 (3^2 b_1^3 )c_1^3 = (X - a_1^3 )^3 (18) \\ \end{array}$

Далее

$\begin{array}{l} c_1^3 - 3a_1 b_1 c_1 = Z(19) \\ 3a_1 b_1 c_1 + 3^2 b_1^3 = Y(20) \\ 3a_1 b_1 c_1 + a_1^3 = X(21) \\ \end{array} $

Далее

$\begin{array}{l} 3a_1 b_1 = c_1^2 - c_2 (22) \\ a_1 c_1 = b_2 - 3b_1^2 (23) \\ 3b_1 c_1 = a_2 - a_1^2 (24) \\ \end{array} $

Так как $Z - Y = 1$

$\begin{array}{l} 3b_1 = c_1^2 - c_2 (25) \\ c_1 = b_2 - 3b_1^2 (26) \\ 3b_1 c_1 = a_2 - 1(27) \\ \end{array} $

тогда получаем из (19) и (20):

$c_1^3 - 3^2 b_1^3 - 6b_1 c_1 = 1(28) $

Решения уравнения
$c_1^3 - 3^2 b_1^3 - 6b_1 c_1 - p = 0(29)$
представляют собой семейство кривых, минимальное значение в положительной области
$p = 187 > 1$

2 вариант: сомножитель $k_1 $ кратен 3, что противоречит начальным условиям, так как $Z - Y = k_1 = 1$

3 вариант: кратен 3 сомножитель $t_1 $, тогда
проведя преобразования, аналогичные преобразованиям для 1 варианта, получаем итоговое выражение:

$9c_1^3 - b_1^3 - 6b_1 c_1 = 1(30) $

Решения уравнения
$9c_1^3 - b_1^3 - 6b_1 c_1 - s = 0(31)$

представляют собой семейство кривых, минимальное значение в положительной области
$s = 29 > 1$

Таким образом нет целых решений для
$X^3 + Y^3 = (Y + 1)^3 $

[nnosipov]

Belfegor в сообщении #584842 писал(а):

Решения уравнения
$c_1^3 - 3^2 b_1^3 - 6b_1 c_1 - p = 0(29)$
представляют собой семейство кривых, минимальное значение в положительной области
$p = 187 > 1$

В чём смысл этой загадочной фразы? Поясните.

[Belfegor]

nnosipov в сообщении #584863 писал(а):

Belfegor в сообщении #584842 писал(а):

Решения уравнения
$c_1^3 - 3^2 b_1^3 - 6b_1 c_1 - p = 0(29)$
представляют собой семейство кривых, минимальное значение в положительной области
$p = 187 > 1$

В чём смысл этой загадочной фразы? Поясните.

При любых натуральных $b_1 $ и $c_1 $
разница $ c_1^3 - 3^2 b_1^3 - 6b_1 c_1$ имеет минимальное положительное значение 187

[nnosipov]

Belfegor в сообщении #584869 писал(а):

При любых натуральных $b_1 $ и $c_1 $
разница $ c_1^3 - 3^2 b_1^3 - 6b_1 c_1$ имеет минимальное положительное значение 187

И откуда же это следует?

[ananova]

У меня получилось так:

если $c_1^3-3^2b_1^3-6b_1c_1=1$, т о:
при $b_1=1$ есть приблизительное решение $c_1 \approx 3,04668032415$
при $b_1=2$ есть приблизительное решение $c_1 \approx 5,1233326935355$

[Belfegor]

nnosipov в сообщении #584873 писал(а):

Belfegor в сообщении #584869 писал(а):

При любых натуральных $b_1 $ и $c_1 $
разница $ c_1^3 - 3^2 b_1^3 - 6b_1 c_1$ имеет минимальное положительное значение 187

И откуда же это следует?

Решения этого уравнения представляют собой бесконечное семейство кривых с минимальной точкой 187 и аналогично 29 для второго уравнения

-- Чт июн 14, 2012 15:17:54 --

ananova в сообщении #584883 писал(а):

У меня получилось так:

если $c_1^3-3^2b_1^3-6b_1c_1=1$, т о:
при $b_1=1$ есть приблизительное решение $c_1 \approx 3,04668032415$
при $b_1=2$ есть приблизительное решение $c_1 \approx 5,1233326935355$

для натуральных чисел!

[nnosipov]

Belfegor в сообщении #584909 писал(а):

Решения этого уравнения представляют собой бесконечное семейство кривых с минимальной точкой 187 и аналогично 29 для второго уравнения

Это заклинание не может служить доказательством.

[ananova]

Цитата:

ananova в сообщении #584883 писал(а):

У меня получилось так:

если $c_1^3-3^2b_1^3-6b_1c_1=1$, т о:
при $b_1=1$ есть приблизительное решение $c_1 \approx 3,04668032415$
при $b_1=2$ есть приблизительное решение $c_1 \approx 5,1233326935355$

для натуральных чисел!

Ну я не компьютер, там может и целые тоже встретятся.. их же очень много. Доказать не могу.

[Belfegor]

nnosipov в сообщении #584928 писал(а):

Belfegor в сообщении #584909 писал(а):

Решения этого уравнения представляют собой бесконечное семейство кривых с минимальной точкой 187 и аналогично 29 для второго уравнения

Это заклинание не может служить доказательством.

Поясню подробнее. Во – первых указанные уравнения (28) и (30) анализировались при
$Z - $ нечетное, $Y - $ четное. При $Z - $ четное, $Y - $ нечетное - ситуация аналогичная.
Итак для $c_1^3 - 3^2 b_1^3 - 6b_1 c_1 - p = 0(29)$ получили семейство кривых 3 типов (см. таблицу, в ней показаны первые 7 кривых для положительной области). Прослеживается простая и понятная закономерность: кривая типа 0 – единственная (начальная область значений
$b_1 , c_1 $), далее чередуются кривые типа 1 и 2, целочисленные значения которых непрерывно возрастают.
Таблица.

$\begin{array}{*{20}c} \hline \vline & {\scriptstyle tip \hfill \atop \scriptstyle krivoy \hfill} &\vline & {nachalo} &\vline & {konec} &\vline & {\scriptstyle kolichestvo \hfill \atop \scriptstyle celih znachenij \hfill} &\vline & {} \vline & \\ \hline \vline & {\scriptstyle 0 \hfill \atop {\scriptstyle (neprerivnaja \hfill \atop \scriptstyle s \max imum) \hfill}} &\vline & {187} &\vline & {891} &\vline & {12} &\vline & {} \vline & \\ \hline \vline & {\scriptstyle 1 \hfill \atop {\scriptstyle (neprerivno \hfill \atop \scriptstyle ubuvajshaja) \hfill}} &\vline & {16829} &\vline & {1125} &\vline & {14} &\vline & {} \vline & \\ \hline \vline & {\scriptstyle 2 \hfill \atop {\scriptstyle (neprerivno \hfill \atop \scriptstyle ubuvajshaja) \hfill}} &\vline & {67943} &\vline & {8039} &\vline & {13} &\vline & {} \vline & \\ \hline \vline & {\scriptstyle 1 \hfill \atop {\scriptstyle (neprerivno \hfill \atop \scriptstyle ubuvajshaja) \hfill}} &\vline & {153169} &\vline & {3929} &\vline & {14} &\vline & {} \vline & \\ \hline \vline & {\scriptstyle 2 \hfill \atop {\scriptstyle (neprerivno \hfill \atop \scriptstyle ubuvajshaja) \hfill}} &\vline & {267331} &\vline & {21667} &\vline & {13} &\vline & {} \vline & \\ \hline \vline & {\scriptstyle 1 \hfill \atop {\scriptstyle (neprerivno \hfill \atop \scriptstyle ubuvajshaja) \hfill}} &\vline & {425781} &\vline & {7597} &\vline & {14} &\vline & {} \vline & \\ \hline \vline & {\scriptstyle 2 \hfill \atop {\scriptstyle (neprerivno \hfill \atop \scriptstyle ubuvajshaja) \hfill}} &\vline & {597375} &\vline & {40959} &\vline & {13} &\vline & {} \vline & \\ \hline \end{array} $

Аналогичная картина получается и для
$9c_1^3 - b_1^3 - 6b_1 c_1 - s = 0(31)$

[Belfegor]

Вот в численных значениях первые шесть граничных кривых 1 типа в положительной области значений для (28)
Таблица 1


$ \begin{array}{*{20}c} \hline \vline & 1 &\vline & 2 &\vline & 3 &\vline & 4 &\vline & 5 &\vline & 6 \vline & \\ \hline \vline & {{\bf{16829}}} &\vline & {{\bf{153169}}} &\vline & {{\bf{425781}}} &\vline & {{\bf{833849}}} &\vline & {{\bf{1376557}}} &\vline & {{\bf{2053089}}} \vline & \\ \hline \vline & {{\rm{18117}}} &\vline & {{\rm{149}}0{\rm{81}}} &\vline & {{\rm{4}}0{\rm{59}}0{\rm{1}}} &\vline & {{\rm{787761}}} &\vline & {{\rm{1293845}}} &\vline & {{\rm{1923337}}} \vline & \\ \hline \vline & {{\rm{19165}}} &\vline & {{\rm{143937}}} &\vline & {{\rm{384149}}} &\vline & {{\rm{738985}}} &\vline & {{\rm{12}}0{\rm{7629}}} &\vline & {{\rm{1789265}}} \vline & \\ \hline \vline & {{\rm{19925}}} &\vline & {{\rm{137689}}} &\vline & {{\rm{36}}0{\rm{477}}} &\vline & {{\rm{687473}}} &\vline & {{\rm{1117861}}} &\vline & {{\rm{165}}0{\rm{825}}} \vline & \\ \hline \vline & {{\rm{2}}0{\rm{349}}} &\vline & {{\rm{13}}0{\rm{289}}} &\vline & {{\rm{334837}}} &\vline & {{\rm{633177}}} &\vline & {{\rm{1}}0{\rm{24493}}} &\vline & {{\rm{15}}0{\rm{7969}}} \vline & \\ \hline \vline & {{\rm{2}}0{\rm{389}}} &\vline & {{\rm{121689}}} &\vline & {{\rm{3}}0{\rm{7181}}} &\vline & {{\rm{576}}0{\rm{49}}} &\vline & {{\rm{927477}}} &\vline & {{\rm{136}}0{\rm{649}}} \vline & \\ \hline \vline & {{\rm{19997}}} &\vline & {{\rm{111841}}} &\vline & {{\rm{277461}}} &\vline & {{\rm{516}}0{\rm{41}}} &\vline & {{\rm{826765}}} &\vline & {{\rm{12}}0{\rm{8817}}} \vline & \\ \hline \vline & {{\rm{19125}}} &\vline & {{\rm{1}}00{\rm{697}}} &\vline & {{\rm{245629}}} &\vline & {{\rm{4531}}0{\rm{5}}} &\vline & {{\rm{7223}}0{\rm{9}}} &\vline & {{\rm{1}}0{\rm{52425}}} \vline & \\ \hline \vline & {{\rm{17725}}} &\vline & {{\rm{882}}0{\rm{9}}} &\vline & {{\rm{211637}}} &\vline & {{\rm{387193}}} &\vline & {{\rm{614}}0{\rm{61}}} &\vline & {{\rm{891425}}} \vline & \\ \hline \vline & {{\rm{15749}}} &\vline & {{\rm{74329}}} &\vline & {{\rm{175437}}} &\vline & {{\rm{318257}}} &\vline & {{\rm{5}}0{\rm{1973}}} &\vline & {{\rm{725769}}} \vline & \\ \hline \vline & {{\rm{13149}}} &\vline & {{\rm{59}}00{\rm{9}}} &\vline & {{\rm{136981}}} &\vline & {{\rm{246249}}} &\vline & {{\rm{385997}}} &\vline & {{\rm{5554}}0{\rm{9}}} \vline & \\ \hline \vline & {{\rm{9877}}} &\vline & {{\rm{422}}0{\rm{1}}} &\vline & {{\rm{96221}}} &\vline & {{\rm{171121}}} &\vline & {{\rm{266}}0{\rm{85}}} &\vline & {{\rm{38}}0{\rm{297}}} \vline & \\ \hline \vline & {{\rm{5885}}} &\vline & {{\rm{23857}}} &\vline & {{\rm{531}}0{\rm{9}}} &\vline & {{\rm{92825}}} &\vline & {{\rm{142189}}} &\vline & {{\rm{2}}00{\rm{385}}} \vline & \\ \hline \vline & {{\bf{1125}}} &\vline & {{\bf{3929}}} &\vline & {{\bf{7597}}} &\vline & {{\bf{11313}}} &\vline & {{\bf{14261}}} &\vline & {{\bf{15625}}} \vline & \\ \hline \end{array} $

Чётко видно, как с ростом значений $b_1 , c_1$ идет последовательное смещение кривых 1 типа в области больших положительных значений. Легко определяются области значений $b_1 , c_1$

Таблица 2


$\begin{array}{*{20}c} \hline \vline & N &\vline & {b_1 (1)} &\vline & {c_1 (1)} &\vline & {b_1 (14)} &\vline & {c_1 (14)} \vline & \\ \hline \vline & 1 &\vline & {24} &\vline & {53} &\vline & {50} &\vline & {105} \vline & \\ \hline \vline & 2 &\vline & {74} &\vline & {157} &\vline & {100} &\vline & {209} \vline & \\ \hline \vline & 3 &\vline & {124} &\vline & {261} &\vline & {150} &\vline & {313} \vline & \\ \hline \vline & 4 &\vline & {174} &\vline & {365} &\vline & {200} &\vline & {417} \vline & \\ \hline \vline & 5 &\vline & {224} &\vline & {469} &\vline & {250} &\vline & {521} \vline & \\ \hline \end{array} $

В таблице 2 показаны начальные и конечные значения $b_1 , c_1$ для первых пяти кривых 1 типа. Значения для $b_1 $ повторяются с шагом 50, для $c_1$ с шагом 104. Аналогично и для кривых 2 типа.

[vix]

Цитата:

$X,Y,Z \in N;X,Y,Z - $ взаимно простые числа и $Z = Y + 1 $

Объясните, пожалуйста, почему это соотношение является обязательным условием. Разве не может быть других вариантов?

[Belfegor]

vix в сообщении #585368 писал(а):

Цитата:

$X,Y,Z \in N;X,Y,Z - $ взаимно простые числа и $Z = Y + 1 $

Объясните, пожалуйста, почему это соотношение является обязательным условием. Разве не может быть других вариантов?

Выбран самый простой случай .Чем дальше в лес тем больше чисел, в смысле деревьев

-- Пт июн 15, 2012 17:02:35 --

Подведём предварительные итоги.
Итак решения $c_1^3 - 3^2 b_1^3 - 6b_1 c_1 - p = 0(29)$ представляют собой бесконечное множество отрицательных и положительных чисел ($Z - $нечетное, $Y - $четное. При $Z - $четное, $Y - $нечетное - ситуация аналогичная).
Нас интересовала граница перехода отрицательных чисел в положительные, ведь только там могло существовать мифическое значение $ p = 1$.
Определено, что множество положительных чисел отделяет от множества отрицательных чисел непрерывно чередующиеся кривые 1 и 2 типа (с минимальными положительными значениями).

Кривая 1 типа определяется следующими значениями $b_1 , c_1$:

$\begin{array}{l} b_1 = 50n + 24 + f_1 , n \in N, f_1 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26\} \\ c_1 = 104n + 53 + r_1 , n \in N, r_1 = \{ 0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52\} \\ \end{array} $


Кривая 2 типа определяется следующими значениями $b_1 , c_1$:

$\begin{array}{l} b_1 = 50n + 50 + f_2 , n \in N, f_2 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24\} \\ c_1 = 104n + 107 + r_2 , n \in N, r_2 = \{ 0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48\} \\ \end{array}$

Для этих кривых минимальное значение $p = 187$ и с увеличением значений $b_1 , c_1$, граничные кривые 1 м 2 типа непрерывно смещаются в области всё больших положительных чисел.

Аналогичные закономерности получаются и для
$9c_1^3 - b_1^3 - 6b_1 c_1 - s = 0(31)$

Таким образом, нет целых решений для $X^3 + Y^3 = (Y + 1)^3 $

[vix]

Belfegor в сообщении #584842 писал(а):

$\begin{array}{l} Z - Y = k_1 (2) \\ \end{array} $

А зачем вводить $k_1$ и дальше его использовать, если по Вашему условию $Z-Y=1$?

[Belfegor]

vix в сообщении #585413 писал(а):

Belfegor в сообщении #584842 писал(а):

$\begin{array}{l} Z - Y = k_1 (2) \\ \end{array} $

А зачем вводить $k_1$ и дальше его использовать, если по Вашему условию $Z-Y=1$?

В общем виде вывел формулы, а потом учёл это дополнительное условие.

[nnosipov]

Belfegor, ну и нагородили Вы здесь. Раз уж Вы апеллируете к каким-то кривым, дайте их чёткое определение. Что такое, например, кривая типа 1? Каким уравнением она задаётся? Выпишите это уравнение. Пока Вы не разъясните, что Вы имеете в виду, дальнейший разговор бессмыслен.

И ещё на будущее: когда Вы смотрите на какие-то таблицы и говорите, что что-то там "чётко видно", Вы должны, во-первых, внятно сформулировать подмеченную закономерность и, во-вторых, дать ей строгое обоснование (привести доказательство). Ни того, ни другого в Вашем тексте

Belfegor в сообщении #585335 писал(а):

Чётко видно, как с ростом значений $b_1 , c_1$ идет последовательное смещение кривых 1 типа в области больших положительных значений. Легко определяются области значений $b_1 , c_1$

не наблюдается.