2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Простейший случай для n =3
Сообщение14.06.2012, 11:57 


16/08/09
304
Итак: надо доказать, что выражение
$X^3  + Y^3  = Z^3 $

не выполняется при любых
$X,Y,Z \in N;X,Y,Z - $ взаимно простые числа и $Z = Y + 1
$

Пусть
$\begin{array}{l}
 Z - X = m_1 (1) \\ 
 Z - Y = k_1 (2) \\ 
 X + Y = t_1 (3) \\ 
 Z^3  = t_1 t_2 (4) \\ 
 Y^3  = m_1 m_2 (5) \\ 
 X^3  = k_1 k_2 (6) \\ 
 \end{array}
$

Соответственно, если X,Y,Z-взаимно простые числа, то и их сомножители тоже взаимно простые числа.
После преобразований выражений(1-3) получаем:

$\begin{array}{l}
 3k_1 m_1 t_1  = (t_1  - Z)^3 (7) \\ 
 3k_1 m_1 t_1  = (Y - m_1 )^3 (8) \\ 
 3k_1 m_1 t_1  = (X - k_1 )^3 (9) \\ 
 \end{array}
$

Получили утроенное произведение трёх взаимно простых сомножителей равное кубу.
Отсюда следует, что два из трех сомножителей всегда кубы, а третий имеет вид
$3^2 d^3 $
Рассмотрим все 3 возможных варианта:
1 вариант: Предположим, что кратен 3 сомножитель $m_1 $, тогда имеем:

$\begin{array}{l}
 Z - X = 9b_1^3 (10) \\ 
 Z - Y = a_1^3 (11) \\ 
 X + Y = c_1^3 (12) \\ 
 Z^3  = c_1^3 c_2^3 (13) \\ 
 Y^3  = 27b_1^3 b_2^3 (14) \\ 
 X^3  = a_1^3 a_2^3 (15) \\ 
 \end{array}
$

$\begin{array}{l}
 3a_1^3 (3^2 b_1^3 )c_1^3  = (c_1^3  - Z)^3 (16) \\ 
 3a_1^3 (3^2 b_1^3 )c_1^3  = (Y - 3^2 b_1^3 )^3 (17) \\ 
 3a_1^3 (3^2 b_1^3 )c_1^3  = (X - a_1^3 )^3 (18) \\ 
 \end{array}$

Далее

$\begin{array}{l}
 c_1^3  - 3a_1 b_1 c_1  = Z(19) \\ 
 3a_1 b_1 c_1  + 3^2 b_1^3  = Y(20) \\ 
 3a_1 b_1 c_1  + a_1^3  = X(21) \\ 
 \end{array}
$

Далее

$\begin{array}{l}
 3a_1 b_1  = c_1^2  - c_2 (22) \\ 
 a_1 c_1  = b_2  - 3b_1^2 (23) \\ 
 3b_1 c_1  = a_2  - a_1^2 (24) \\ 
 \end{array}
$

Так как $Z - Y = 1$

$\begin{array}{l}
 3b_1  = c_1^2  - c_2 (25) \\ 
 c_1  = b_2  - 3b_1^2 (26) \\ 
 3b_1 c_1  = a_2  - 1(27) \\ 
 \end{array}
$

тогда получаем из (19) и (20):

$c_1^3  - 3^2 b_1^3  - 6b_1 c_1  = 1(28)
$

Решения уравнения
$c_1^3  - 3^2 b_1^3  - 6b_1 c_1  - p = 0(29)$
представляют собой семейство кривых, минимальное значение в положительной области
$p = 187 > 1$

2 вариант: сомножитель $k_1 $ кратен 3, что противоречит начальным условиям, так как $Z - Y = k_1  = 1$

3 вариант: кратен 3 сомножитель $t_1 $, тогда
проведя преобразования, аналогичные преобразованиям для 1 варианта, получаем итоговое выражение:

$9c_1^3  - b_1^3  - 6b_1 c_1  = 1(30)
$

Решения уравнения
$9c_1^3  - b_1^3  - 6b_1 c_1  - s = 0(31)$

представляют собой семейство кривых, минимальное значение в положительной области
$s = 29 > 1$

Таким образом нет целых решений для
$X^3  + Y^3  = (Y + 1)^3 $

 Профиль  
                  
 
 Re: Простейший случай для n =3
Сообщение14.06.2012, 12:32 
Заслуженный участник


20/12/10
7003
Belfegor в сообщении #584842 писал(а):
Решения уравнения
$c_1^3 - 3^2 b_1^3 - 6b_1 c_1 - p = 0(29)$
представляют собой семейство кривых, минимальное значение в положительной области
$p = 187 > 1$
В чём смысл этой загадочной фразы? Поясните.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простейший случай для n =3
Сообщение14.06.2012, 12:48 


16/08/09
304
nnosipov в сообщении #584863 писал(а):
Belfegor в сообщении #584842 писал(а):
Решения уравнения
$c_1^3 - 3^2 b_1^3 - 6b_1 c_1 - p = 0(29)$
представляют собой семейство кривых, минимальное значение в положительной области
$p = 187 > 1$
В чём смысл этой загадочной фразы? Поясните.


При любых натуральных $b_1 $ и $c_1 $
разница $ c_1^3  - 3^2 b_1^3  - 6b_1 c_1$ имеет минимальное положительное значение 187

 Профиль  
                  
 
 Re: Простейший случай для n =3
Сообщение14.06.2012, 12:54 
Заслуженный участник


20/12/10
7003
Belfegor в сообщении #584869 писал(а):
При любых натуральных $b_1 $ и $c_1 $
разница $ c_1^3 - 3^2 b_1^3 - 6b_1 c_1$ имеет минимальное положительное значение 187
И откуда же это следует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простейший случай для n =3
Сообщение14.06.2012, 13:13 


15/12/05
754
У меня получилось так:

если $c_1^3-3^2b_1^3-6b_1c_1=1$, т о:
при $b_1=1$ есть приблизительное решение $c_1 \approx 3,04668032415$
при $b_1=2$ есть приблизительное решение $c_1 \approx 5,1233326935355$

 Профиль  
                  
 
 Re: Простейший случай для n =3
Сообщение14.06.2012, 14:16 


16/08/09
304
nnosipov в сообщении #584873 писал(а):
Belfegor в сообщении #584869 писал(а):
При любых натуральных $b_1 $ и $c_1 $
разница $ c_1^3 - 3^2 b_1^3 - 6b_1 c_1$ имеет минимальное положительное значение 187
И откуда же это следует?

Решения этого уравнения представляют собой бесконечное семейство кривых с минимальной точкой 187 и аналогично 29 для второго уравнения

-- Чт июн 14, 2012 15:17:54 --

ananova в сообщении #584883 писал(а):
У меня получилось так:

если $c_1^3-3^2b_1^3-6b_1c_1=1$, т о:
при $b_1=1$ есть приблизительное решение $c_1 \approx 3,04668032415$
при $b_1=2$ есть приблизительное решение $c_1 \approx 5,1233326935355$

для натуральных чисел!

 Профиль  
                  
 
 Re: Простейший случай для n =3
Сообщение14.06.2012, 14:34 
Заслуженный участник


20/12/10
7003
Belfegor в сообщении #584909 писал(а):
Решения этого уравнения представляют собой бесконечное семейство кривых с минимальной точкой 187 и аналогично 29 для второго уравнения
Это заклинание не может служить доказательством.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простейший случай для n =3
Сообщение14.06.2012, 14:35 


15/12/05
754
Цитата:
ananova в сообщении #584883 писал(а):
У меня получилось так:

если $c_1^3-3^2b_1^3-6b_1c_1=1$, т о:
при $b_1=1$ есть приблизительное решение $c_1 \approx 3,04668032415$
при $b_1=2$ есть приблизительное решение $c_1 \approx 5,1233326935355$

для натуральных чисел!


Ну я не компьютер, там может и целые тоже встретятся.. их же очень много. Доказать не могу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простейший случай для n =3
Сообщение14.06.2012, 23:55 


16/08/09
304
nnosipov в сообщении #584928 писал(а):
Belfegor в сообщении #584909 писал(а):
Решения этого уравнения представляют собой бесконечное семейство кривых с минимальной точкой 187 и аналогично 29 для второго уравнения
Это заклинание не может служить доказательством.


Поясню подробнее. Во – первых указанные уравнения (28) и (30) анализировались при
$Z - $ нечетное, $Y - $ четное. При $Z - $ четное, $Y - $ нечетное - ситуация аналогичная.
Итак для $c_1^3  - 3^2 b_1^3  - 6b_1 c_1  - p = 0(29)$ получили семейство кривых 3 типов (см. таблицу, в ней показаны первые 7 кривых для положительной области). Прослеживается простая и понятная закономерность: кривая типа 0 – единственная (начальная область значений
$b_1 , c_1 $), далее чередуются кривые типа 1 и 2, целочисленные значения которых непрерывно возрастают.
Таблица.

$\begin{array}{*{20}c}
\hline
  \vline &  {\scriptstyle tip \hfill \atop 
  \scriptstyle krivoy \hfill} &\vline &  {nachalo} &\vline &  {konec} &\vline &  {\scriptstyle kolichestvo \hfill \atop 
  \scriptstyle celih znachenij \hfill} &\vline &  {} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {\scriptstyle 0 \hfill \atop 
  {\scriptstyle (neprerivnaja \hfill \atop 
  \scriptstyle s  \max imum) \hfill}} &\vline &  {187} &\vline &  {891} &\vline &  {12} &\vline &  {} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {\scriptstyle 1 \hfill \atop 
  {\scriptstyle (neprerivno \hfill \atop 
  \scriptstyle ubuvajshaja) \hfill}} &\vline &  {16829} &\vline &  {1125} &\vline &  {14} &\vline &  {} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {\scriptstyle 2 \hfill \atop 
  {\scriptstyle (neprerivno \hfill \atop 
  \scriptstyle ubuvajshaja) \hfill}} &\vline &  {67943} &\vline &  {8039} &\vline &  {13} &\vline &  {} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {\scriptstyle 1 \hfill \atop 
  {\scriptstyle (neprerivno \hfill \atop 
  \scriptstyle ubuvajshaja) \hfill}} &\vline &  {153169} &\vline &  {3929} &\vline &  {14} &\vline &  {} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {\scriptstyle 2 \hfill \atop 
  {\scriptstyle (neprerivno \hfill \atop 
  \scriptstyle ubuvajshaja) \hfill}} &\vline &  {267331} &\vline &  {21667} &\vline &  {13} &\vline &  {} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {\scriptstyle 1 \hfill \atop 
  {\scriptstyle (neprerivno \hfill \atop 
  \scriptstyle ubuvajshaja) \hfill}} &\vline &  {425781} &\vline &  {7597} &\vline &  {14} &\vline &  {} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {\scriptstyle 2 \hfill \atop 
  {\scriptstyle (neprerivno \hfill \atop 
  \scriptstyle ubuvajshaja) \hfill}} &\vline &  {597375} &\vline &  {40959} &\vline &  {13} &\vline &  {} \vline &  \\
\hline
\end{array}
$

Аналогичная картина получается и для
$9c_1^3  - b_1^3  - 6b_1 c_1  - s = 0(31)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Простейший случай для n =3
Сообщение15.06.2012, 13:04 


16/08/09
304
Вот в численных значениях первые шесть граничных кривых 1 типа в положительной области значений для (28)
Таблица 1


$
\begin{array}{*{20}c}
\hline
  \vline &  1 &\vline &  2 &\vline &  3 &\vline &  4 &\vline &  5 &\vline &  6 \vline &  \\
\hline
  \vline &  {{\bf{16829}}} &\vline &  {{\bf{153169}}} &\vline &  {{\bf{425781}}} &\vline &  {{\bf{833849}}} &\vline &  {{\bf{1376557}}} &\vline &  {{\bf{2053089}}} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {{\rm{18117}}} &\vline &  {{\rm{149}}0{\rm{81}}} &\vline &  {{\rm{4}}0{\rm{59}}0{\rm{1}}} &\vline &  {{\rm{787761}}} &\vline &  {{\rm{1293845}}} &\vline &  {{\rm{1923337}}} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {{\rm{19165}}} &\vline &  {{\rm{143937}}} &\vline &  {{\rm{384149}}} &\vline &  {{\rm{738985}}} &\vline &  {{\rm{12}}0{\rm{7629}}} &\vline &  {{\rm{1789265}}} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {{\rm{19925}}} &\vline &  {{\rm{137689}}} &\vline &  {{\rm{36}}0{\rm{477}}} &\vline &  {{\rm{687473}}} &\vline &  {{\rm{1117861}}} &\vline &  {{\rm{165}}0{\rm{825}}} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {{\rm{2}}0{\rm{349}}} &\vline &  {{\rm{13}}0{\rm{289}}} &\vline &  {{\rm{334837}}} &\vline &  {{\rm{633177}}} &\vline &  {{\rm{1}}0{\rm{24493}}} &\vline &  {{\rm{15}}0{\rm{7969}}} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {{\rm{2}}0{\rm{389}}} &\vline &  {{\rm{121689}}} &\vline &  {{\rm{3}}0{\rm{7181}}} &\vline &  {{\rm{576}}0{\rm{49}}} &\vline &  {{\rm{927477}}} &\vline &  {{\rm{136}}0{\rm{649}}} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {{\rm{19997}}} &\vline &  {{\rm{111841}}} &\vline &  {{\rm{277461}}} &\vline &  {{\rm{516}}0{\rm{41}}} &\vline &  {{\rm{826765}}} &\vline &  {{\rm{12}}0{\rm{8817}}} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {{\rm{19125}}} &\vline &  {{\rm{1}}00{\rm{697}}} &\vline &  {{\rm{245629}}} &\vline &  {{\rm{4531}}0{\rm{5}}} &\vline &  {{\rm{7223}}0{\rm{9}}} &\vline &  {{\rm{1}}0{\rm{52425}}} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {{\rm{17725}}} &\vline &  {{\rm{882}}0{\rm{9}}} &\vline &  {{\rm{211637}}} &\vline &  {{\rm{387193}}} &\vline &  {{\rm{614}}0{\rm{61}}} &\vline &  {{\rm{891425}}} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {{\rm{15749}}} &\vline &  {{\rm{74329}}} &\vline &  {{\rm{175437}}} &\vline &  {{\rm{318257}}} &\vline &  {{\rm{5}}0{\rm{1973}}} &\vline &  {{\rm{725769}}} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {{\rm{13149}}} &\vline &  {{\rm{59}}00{\rm{9}}} &\vline &  {{\rm{136981}}} &\vline &  {{\rm{246249}}} &\vline &  {{\rm{385997}}} &\vline &  {{\rm{5554}}0{\rm{9}}} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {{\rm{9877}}} &\vline &  {{\rm{422}}0{\rm{1}}} &\vline &  {{\rm{96221}}} &\vline &  {{\rm{171121}}} &\vline &  {{\rm{266}}0{\rm{85}}} &\vline &  {{\rm{38}}0{\rm{297}}} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {{\rm{5885}}} &\vline &  {{\rm{23857}}} &\vline &  {{\rm{531}}0{\rm{9}}} &\vline &  {{\rm{92825}}} &\vline &  {{\rm{142189}}} &\vline &  {{\rm{2}}00{\rm{385}}} \vline &  \\
\hline
  \vline &  {{\bf{1125}}} &\vline &  {{\bf{3929}}} &\vline &  {{\bf{7597}}} &\vline &  {{\bf{11313}}} &\vline &  {{\bf{14261}}} &\vline &  {{\bf{15625}}} \vline &  \\
\hline
\end{array}
$

Чётко видно, как с ростом значений $b_1 , c_1$ идет последовательное смещение кривых 1 типа в области больших положительных значений. Легко определяются области значений $b_1 , c_1$

Таблица 2


$\begin{array}{*{20}c}
\hline
  \vline &  N &\vline &  {b_1 (1)} &\vline &  {c_1 (1)} &\vline &  {b_1 (14)} &\vline &  {c_1 (14)} \vline &  \\
\hline
  \vline &  1 &\vline &  {24} &\vline &  {53} &\vline &  {50} &\vline &  {105} \vline &  \\
\hline
  \vline &  2 &\vline &  {74} &\vline &  {157} &\vline &  {100} &\vline &  {209} \vline &  \\
\hline
  \vline &  3 &\vline &  {124} &\vline &  {261} &\vline &  {150} &\vline &  {313} \vline &  \\
\hline
  \vline &  4 &\vline &  {174} &\vline &  {365} &\vline &  {200} &\vline &  {417} \vline &  \\
\hline
  \vline &  5 &\vline &  {224} &\vline &  {469} &\vline &  {250} &\vline &  {521} \vline &  \\
\hline
\end{array}
$

В таблице 2 показаны начальные и конечные значения $b_1 , c_1$ для первых пяти кривых 1 типа. Значения для $b_1 $ повторяются с шагом 50, для $c_1$ с шагом 104. Аналогично и для кривых 2 типа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простейший случай для n =3
Сообщение15.06.2012, 14:38 


15/06/12
9
Цитата:
$X,Y,Z \in N;X,Y,Z - $ взаимно простые числа и $Z = Y + 1
$

Объясните, пожалуйста, почему это соотношение является обязательным условием. Разве не может быть других вариантов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простейший случай для n =3
Сообщение15.06.2012, 15:13 


16/08/09
304
vix в сообщении #585368 писал(а):
Цитата:
$X,Y,Z \in N;X,Y,Z - $ взаимно простые числа и $Z = Y + 1
$

Объясните, пожалуйста, почему это соотношение является обязательным условием. Разве не может быть других вариантов?


Выбран самый простой случай :D .Чем дальше в лес тем больше чисел, в смысле деревьев :shock:

-- Пт июн 15, 2012 17:02:35 --

Подведём предварительные итоги.
Итак решения $c_1^3  - 3^2 b_1^3  - 6b_1 c_1  - p = 0(29)$ представляют собой бесконечное множество отрицательных и положительных чисел ($Z - $нечетное, $Y - $четное. При $Z - $четное, $Y - $нечетное - ситуация аналогичная).
Нас интересовала граница перехода отрицательных чисел в положительные, ведь только там могло существовать мифическое значение $ p = 1$.
Определено, что множество положительных чисел отделяет от множества отрицательных чисел непрерывно чередующиеся кривые 1 и 2 типа (с минимальными положительными значениями).

Кривая 1 типа определяется следующими значениями $b_1 , c_1$:

$\begin{array}{l}
 b_1  = 50n + 24 + f_1 , n \in N, f_1  = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26\}  \\ 
 c_1  = 104n + 53 + r_1 , n \in N, r_1  = \{ 0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52\}  \\ 
 \end{array}
$


Кривая 2 типа определяется следующими значениями $b_1 , c_1$:

$\begin{array}{l}
 b_1  = 50n + 50 + f_2 , n \in N, f_2  = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24\}  \\ 
 c_1  = 104n + 107 + r_2 , n \in N, r_2  = \{ 0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48\}  \\ 
 \end{array}$

Для этих кривых минимальное значение $p = 187$ и с увеличением значений $b_1 , c_1$, граничные кривые 1 м 2 типа непрерывно смещаются в области всё больших положительных чисел.

Аналогичные закономерности получаются и для
$9c_1^3  - b_1^3  - 6b_1 c_1  - s = 0(31)$

Таким образом, нет целых решений для $X^3  + Y^3  = (Y + 1)^3 $

 Профиль  
                  
 
 Re: Простейший случай для n =3
Сообщение15.06.2012, 16:40 


15/06/12
9
Belfegor в сообщении #584842 писал(а):
$\begin{array}{l}
Z - Y = k_1 (2) \\ 
 \end{array}
$

А зачем вводить $k_1$ и дальше его использовать, если по Вашему условию $Z-Y=1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простейший случай для n =3
Сообщение15.06.2012, 16:43 


16/08/09
304
vix в сообщении #585413 писал(а):
Belfegor в сообщении #584842 писал(а):
$\begin{array}{l}
Z - Y = k_1 (2) \\ 
 \end{array}
$

А зачем вводить $k_1$ и дальше его использовать, если по Вашему условию $Z-Y=1$?


В общем виде вывел формулы, а потом учёл это дополнительное условие. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Простейший случай для n =3
Сообщение15.06.2012, 17:34 
Заслуженный участник


20/12/10
7003
Belfegor, ну и нагородили Вы здесь. Раз уж Вы апеллируете к каким-то кривым, дайте их чёткое определение. Что такое, например, кривая типа 1? Каким уравнением она задаётся? Выпишите это уравнение. Пока Вы не разъясните, что Вы имеете в виду, дальнейший разговор бессмыслен.

И ещё на будущее: когда Вы смотрите на какие-то таблицы и говорите, что что-то там "чётко видно", Вы должны, во-первых, внятно сформулировать подмеченную закономерность и, во-вторых, дать ей строгое обоснование (привести доказательство). Ни того, ни другого в Вашем тексте
Belfegor в сообщении #585335 писал(а):
Чётко видно, как с ростом значений $b_1 , c_1$ идет последовательное смещение кривых 1 типа в области больших положительных значений. Легко определяются области значений $b_1 , c_1$
не наблюдается.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 54 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: ydgin


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group