Обозначения множества размещений, сочетаний etc.

[arseniiv]

Перестановки (например, для суммирования по ним) можно брать без зазрения совести из $S_n$. А откуда брать размещения, сочетания, какие-нибудь ещё комбинаторные объекты? Есть ли нотация для построения обозначений таких множеств «на лету»?

[Sonic86]

Для суммирования по сочетаниям можно писать $A\subseteq B, |A|=k,|B|=n$. Хотя длинно Обычно пишут $1\leqslant i_1<...<i_k\leqslant n$ - но это тоже довольно громоздко Еще можно писать $A\in\mathcal{P}(B),|A|=k$, ну немного короче
Трактовать сочетания как функции не очень получается: множество перестановок - группа. А тут даже незамкнуто как-то все...
Не знаю

[arseniiv]

Sonic86 в сообщении #583546 писал(а):

Трактовать сочетания как функции не очень получается

Да; ну и ладно. Может, в какой-нибудь сумме их самих в какую-нибудь функцию подставляют.

Способ с булеаном мне кажется самым понятным.

Размещения — инъекции из $A^{1..k}$, как я днём не довспоминался. Только вот ограничения на инъективность или сюръективность без использования слов тоже не встречал; выражения для них тоже не-в-индекс-засовываемые.

[maxal]

Множество сочетаний из $k$ элементов множества $A$ обозначается $\binom{A}{k}$.

[arseniiv]

Интересное обозначение.

[Sonic86]

maxal в сообщении #584566 писал(а):

Множество сочетаний из $k$ элементов множества $A$ обозначается $\binom{A}{k}$.

Хе! Тогда пытаемся выписать тождества, аналогичные тождествам с биномиальными коэффициентами (но только с целым индексом. Или кто-то может с нецелым? )
$\mathcal{P}(A)=\sum\limits_{k=0}^{|A|}\binom{A}{k}$
$|\binom{A}{k}|=|\binom{A}{|A|-k}|$ (с самими множествами понятно что, но формулировка не очень красивая будет: $X\in\binom{A}{k}\Leftrightarrow A\setminus X\in\binom{A}{|A|-k}$)
$\binom{A}{0}=\{\varnothing\}$
$\binom{A}{|A|}=\{A\}$
Тождество $\binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k+1}+\binom{n}{k}$ тоже либо требует еще обозначений, либо сложно выглядит....
Доказательство теоремы Вольстенхольма, использующее действия, будет выглядеть красивше...
А как выглядит малая теорема Ферма? Или тождество Вандермонда?
Т.е. тут надо уже не равенства писать, а биекции в общем случае. Равенство множеств - частный случай биекции...

[maxal]

Sonic86 в сообщении #584775 писал(а):

$\mathcal{P}(A)=\sum\limits_{k=0}^{|A|}\binom{A}{k}$

Так нагляднее: $2^A=\bigcup\limits_{k=0}^{|A|}\binom{A}{k}$.