2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Обозначения множества размещений, сочетаний etc.
Сообщение11.06.2012, 11:53 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Перестановки (например, для суммирования по ним) можно брать без зазрения совести из $S_n$. А откуда брать размещения, сочетания, какие-нибудь ещё комбинаторные объекты? Есть ли нотация для построения обозначений таких множеств «на лету»?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обозначения множества размещений, сочетаний etc.
Сообщение11.06.2012, 20:28 
Заслуженный участник


08/04/08
8564
Для суммирования по сочетаниям можно писать $A\subseteq B, |A|=k,|B|=n$. Хотя длинно :? Обычно пишут $1\leqslant i_1<...<i_k\leqslant n$ - но это тоже довольно громоздко :? Еще можно писать $A\in\mathcal{P}(B),|A|=k$, ну немного короче :?
Трактовать сочетания как функции не очень получается: множество перестановок - группа. А тут даже незамкнуто как-то все...
Не знаю :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Обозначения множества размещений, сочетаний etc.
Сообщение11.06.2012, 21:57 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Sonic86 в сообщении #583546 писал(а):
Трактовать сочетания как функции не очень получается
Да; ну и ладно. Может, в какой-нибудь сумме их самих в какую-нибудь функцию подставляют.

Способ с булеаном мне кажется самым понятным.

Размещения — инъекции из $A^{1..k}$, как я днём не довспоминался. Только вот ограничения на инъективность или сюръективность без использования слов тоже не встречал; выражения для них тоже не-в-индекс-засовываемые.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обозначения множества размещений, сочетаний etc.
Сообщение13.06.2012, 21:14 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Множество сочетаний из $k$ элементов множества $A$ обозначается $\binom{A}{k}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обозначения множества размещений, сочетаний etc.
Сообщение14.06.2012, 00:08 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Интересное обозначение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обозначения множества размещений, сочетаний etc.
Сообщение14.06.2012, 08:38 
Заслуженный участник


08/04/08
8564
maxal в сообщении #584566 писал(а):
Множество сочетаний из $k$ элементов множества $A$ обозначается $\binom{A}{k}$.
Хе! Тогда пытаемся выписать тождества, аналогичные тождествам с биномиальными коэффициентами (но только с целым индексом. Или кто-то может с нецелым? :shock: )
$\mathcal{P}(A)=\sum\limits_{k=0}^{|A|}\binom{A}{k}$
$|\binom{A}{k}|=|\binom{A}{|A|-k}|$ (с самими множествами понятно что, но формулировка не очень красивая будет: $X\in\binom{A}{k}\Leftrightarrow A\setminus X\in\binom{A}{|A|-k}$)
$\binom{A}{0}=\{\varnothing\}$
$\binom{A}{|A|}=\{A\}$
Тождество $\binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k+1}+\binom{n}{k}$ тоже либо требует еще обозначений, либо сложно выглядит....
Доказательство теоремы Вольстенхольма, использующее действия, будет выглядеть красивше...
А как выглядит малая теорема Ферма? Или тождество Вандермонда?
Т.е. тут надо уже не равенства писать, а биекции в общем случае. Равенство множеств - частный случай биекции...

 Профиль  
                  
 
 Re: Обозначения множества размещений, сочетаний etc.
Сообщение14.06.2012, 09:07 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Sonic86 в сообщении #584775 писал(а):
$\mathcal{P}(A)=\sum\limits_{k=0}^{|A|}\binom{A}{k}$

Так нагляднее: $2^A=\bigcup\limits_{k=0}^{|A|}\binom{A}{k}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group