2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 2 задачи по геометрии
Сообщение09.06.2012, 12:26 


04/06/12
37
На уровень какой олимпиады вы их расцениваете?
И вообще, олимпиадный ли это уровень? :-)

Задача 1. Медиана $AE$ треугольника $ABC$ пересекает описанную окружность в точке $D$. Доказать, что $AD=\frac{AC^2+AB^2}{2AE}$.
Задача 2. В $\triangle ABC$ описанная окружность пересекает биссектрису угла $B$ в точке $K$, а биссектрису внешнего угла $C$ в точке $L$ (точки $K$ и $L$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $BC$). Доказать, что $KL$ параллельна биссектрисе угла $A$ треугольника $ABC$.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи по геометрии
Сообщение09.06.2012, 15:16 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
iknow в сообщении #582563 писал(а):

Медиана $AE$ треугольника $ABC$ пересекает описанную окружность в точке $D$ .

Это как? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи по геометрии
Сообщение09.06.2012, 15:19 


04/06/12
37
Это про описанную окружность $\triangle ABC$. Сейчас исправлю. Спасибо за поправку.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи по геометрии
Сообщение09.06.2012, 23:54 


26/05/12
108
Минск, Беларусь
Они уровня районной олимпиады, не больше... что одна, что вторая...

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи по геометрии
Сообщение10.06.2012, 16:08 


04/06/12
37
Tanechka в сообщении #582803 писал(а):
Они уровня районной олимпиады, не больше... что одна, что вторая...

Вы их решили? Через что Вы их решали? Очень интересен Ваш метод решения...

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи по геометрии
Сообщение10.06.2012, 18:03 


26/05/12
108
Минск, Беларусь
iknow, мой ход мыслей:
1.
$AD=\frac{AC^2+AB^2}{2AE}$
$2AD \cdot AE=AC^2+AB^2$
$2(AE+ED) \cdot AE=AC^2+AB^2$
$2AE^2+2ED \cdot AE=AC^2+AB^2$
$2AE^2+2BE \cdot EC=AC^2+AB^2$
$2AE^2+\frac{BC^2}{2}=AC^2+AB^2$
$4AE^2+BC^2=2AC^2+2AB^2$
Это очевидно верно, если воспользоваться свойством параллелограмма (сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон) со сторонами $AC$ и $AB$

2.
Обозначаю угол $BAC$ через $2\alpha$, угол $ABC$ через $2\beta$. Пусть также $P$ - точка пересечения биссектрисы угла $BAC$, а $M$ - точка пересечения прямой $KL$ с прямой $BC$. Тогда:
угол $BPA$ равен $180-2\alpha-\beta$.
угол $MCL$ равен $\alpha+\beta$
угол $CLK$ равен $180-\alpha$
угол $CLM$ равен $\alpha$
угол $CML$ равен $180-2\alpha-\beta$

Из первого и последнего вытекает, что прямые $AP$ и $KL$ параллельны.
Вот и всё решение. На практике всё проще, здесь как-то ёмко вышло...

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи по геометрии
Сообщение10.06.2012, 18:32 


04/06/12
37
Tanechka, честно говоря, очень вдохновило Ваше решение! :-) Потому что я опирался в решении на другие факты...

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи по геометрии
Сообщение10.06.2012, 21:49 


26/05/12
108
Минск, Беларусь
iknow, ну покажите свои решения, очень интересно :-)

(Оффтоп)

iknow в сообщении #583146 писал(а):
очень вдохновило Ваше решение!

Чем же оно вас вдохновило? :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи по геометрии
Сообщение11.06.2012, 11:43 


04/06/12
37
Tanechka
1) Насчет первой задачи я не помню решения своего. попытался восстановить,не получилось :-( Но я опирался при доказательстве на теорему Птолемея. это было основой решения.
А хотя нет, я вспомнил :D
По теореме Птолемея справедливо:
$AD\cdot BC=AB\cdot CD+BC\cdot AC$ (1)
Далее из подобия $\triangle ABE$ и $\triangle CDE$ имеем:
$\frac{AE}{CE}=\frac{AB}{CD}$
$\Rightarrow$ $CD=\frac{AB\cdot CE}{AE}$ (2)
Аналогичным образом из подобия $\triangle BED$ и $\triangle AEC$
$BD=\frac{AC\cdot BE}{AE}$ (3)
Подставив (1) (2) в (3), получаем:
$AD\cdot BC=\frac{AB^2\cdot CE}{AE}+\frac{AC^2\cdot BE}{AE}$
Используя то, что $BC=2BE=2CE$, и, разделив обе части уравнения на $BC$ приходим к искомому.
2) Здесь очень помогает один факт, а именно: В треугольнике $ABC$ точку пересечения внешних углов $B$ и $C$ обозначим $I_a$. Аналогично определим точки $I_b$ и $I_c$. Тогда описанная окружность $\triangle ABC$ будет являться окружностью Эйлера $\triangle I_{a}I_{b}I_{c}$ , а вершины $A$, $B$, $C$ будут основаниями высот полученного треугольника.(доказательство этого факта несложное. если кому-нибудь станет непонятно, попросите ,я напишу.)
Осталось заметить, что $L$ и $K$ лежат на этой окружности (являются двумя из девяти точек этой замечательной окружности. :-) ) ,откуда отрезок $KL$ является средней линией $\triangle AI_{a}I_{b}$, т.е. параллелен биссектрисе угла $A$ треугольника $ABC$.
Что и требовалось доказать.
Расписал многовато, кажется, но суть уловить несложно :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи по геометрии
Сообщение11.06.2012, 13:50 


26/05/12
108
Минск, Беларусь
iknow, вам не кажется, что с решением вы перемудрили?
Просто я не думаю, что рядовой школьник так будет решать...

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи по геометрии
Сообщение11.06.2012, 13:58 


04/06/12
37
Tanechka,
хммм...возможно такое...
хотя я и есть школьник :-)
в принципе, да... насчет второй задачи согласен. там не совсем просто,я думаю, додуматься до этого факта.
а насчет первой, не совсем согласен :-(

P.S. и согласитесь ли Вы, что этот факт во 2 задаче весьма-весьма красивый? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи по геометрии
Сообщение11.06.2012, 14:02 


26/05/12
108
Минск, Беларусь
iknow, а я про вторую и говорю... а додуматься до углов... извините батенька, но так делает каждый среднестатистический олимпиадник (хотя бы районного уровня), если видит углы: рисует рисунок, обозначает некоторые углы за альфа, за бета, выражает через них все углы, да что-то и получает)...

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи по геометрии
Сообщение11.06.2012, 14:08 


04/06/12
37
Tanechka, насчет углов согласен :-) я же не говорю, что Ваше решение неверно, а мое - самое лучшее...
просто можно задачу для разнообразия так решить...

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи по геометрии
Сообщение11.06.2012, 14:08 


26/05/12
108
Минск, Беларусь

(Оффтоп)

Ещё есть задачи? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи по геометрии
Сообщение11.06.2012, 14:21 


04/06/12
37
:D Могу посмотреть. Опять же геометрия? :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group