Tanechka1) Насчет первой задачи я не помню решения своего. попытался восстановить,не получилось

Но я опирался при доказательстве на теорему Птолемея. это было основой решения.
А хотя нет, я вспомнил
По теореме Птолемея справедливо:

(1)
Далее из подобия

и

имеем:


(2)
Аналогичным образом из подобия

и

(3)
Подставив (1) (2) в (3), получаем:

Используя то, что

, и, разделив обе части уравнения на

приходим к искомому.
2) Здесь очень помогает один факт, а именно: В треугольнике

точку пересечения внешних углов

и

обозначим

. Аналогично определим точки

и

. Тогда описанная окружность

будет являться окружностью Эйлера

, а вершины

,

,

будут основаниями высот полученного треугольника.(доказательство этого факта несложное. если кому-нибудь станет непонятно, попросите ,я напишу.)
Осталось заметить, что

и

лежат на этой окружности (являются двумя из девяти точек этой замечательной окружности.

) ,откуда отрезок

является средней линией

, т.е. параллелен биссектрисе угла

треугольника

.
Что и требовалось доказать.
Расписал многовато, кажется, но суть уловить несложно
