2 задачи по геометрии

[iknow]

На уровень какой олимпиады вы их расцениваете?
И вообще, олимпиадный ли это уровень?

Задача 1. Медиана $AE$ треугольника $ABC$ пересекает описанную окружность в точке $D$. Доказать, что $AD=\frac{AC^2+AB^2}{2AE}$.
Задача 2. В $\triangle ABC$ описанная окружность пересекает биссектрису угла $B$ в точке $K$, а биссектрису внешнего угла $C$ в точке $L$ (точки $K$ и $L$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $BC$). Доказать, что $KL$ параллельна биссектрисе угла $A$ треугольника $ABC$.

[arqady]

iknow в сообщении #582563 писал(а):

Медиана $AE$ треугольника $ABC$ пересекает описанную окружность в точке $D$ .

Это как?

[iknow]

Это про описанную окружность $\triangle ABC$. Сейчас исправлю. Спасибо за поправку.

[Tanechka]

Они уровня районной олимпиады, не больше... что одна, что вторая...

[iknow]

Tanechka в сообщении #582803 писал(а):

Они уровня районной олимпиады, не больше... что одна, что вторая...

Вы их решили? Через что Вы их решали? Очень интересен Ваш метод решения...

[Tanechka]

iknow, мой ход мыслей:
1.
$AD=\frac{AC^2+AB^2}{2AE}$
$2AD \cdot AE=AC^2+AB^2$
$2(AE+ED) \cdot AE=AC^2+AB^2$
$2AE^2+2ED \cdot AE=AC^2+AB^2$
$2AE^2+2BE \cdot EC=AC^2+AB^2$
$2AE^2+\frac{BC^2}{2}=AC^2+AB^2$
$4AE^2+BC^2=2AC^2+2AB^2$
Это очевидно верно, если воспользоваться свойством параллелограмма (сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон) со сторонами $AC$ и $AB$

2.
Обозначаю угол $BAC$ через $2\alpha$, угол $ABC$ через $2\beta$. Пусть также $P$ - точка пересечения биссектрисы угла $BAC$, а $M$ - точка пересечения прямой $KL$ с прямой $BC$. Тогда:
угол $BPA$ равен $180-2\alpha-\beta$.
угол $MCL$ равен $\alpha+\beta$
угол $CLK$ равен $180-\alpha$
угол $CLM$ равен $\alpha$
угол $CML$ равен $180-2\alpha-\beta$

Из первого и последнего вытекает, что прямые $AP$ и $KL$ параллельны.
Вот и всё решение. На практике всё проще, здесь как-то ёмко вышло...

[iknow]

Tanechka, честно говоря, очень вдохновило Ваше решение! Потому что я опирался в решении на другие факты...

[Tanechka]

iknow, ну покажите свои решения, очень интересно

(Оффтоп)

iknow в сообщении #583146 писал(а):

очень вдохновило Ваше решение!

Чем же оно вас вдохновило?

[iknow]

Tanechka
1) Насчет первой задачи я не помню решения своего. попытался восстановить,не получилось Но я опирался при доказательстве на теорему Птолемея. это было основой решения.
А хотя нет, я вспомнил
По теореме Птолемея справедливо:
$AD\cdot BC=AB\cdot CD+BC\cdot AC$ (1)
Далее из подобия $\triangle ABE$ и $\triangle CDE$ имеем:
$\frac{AE}{CE}=\frac{AB}{CD}$
$\Rightarrow$ $CD=\frac{AB\cdot CE}{AE}$ (2)
Аналогичным образом из подобия $\triangle BED$ и $\triangle AEC$
$BD=\frac{AC\cdot BE}{AE}$ (3)
Подставив (1) (2) в (3), получаем:
$AD\cdot BC=\frac{AB^2\cdot CE}{AE}+\frac{AC^2\cdot BE}{AE}$
Используя то, что $BC=2BE=2CE$, и, разделив обе части уравнения на $BC$ приходим к искомому.
2) Здесь очень помогает один факт, а именно: В треугольнике $ABC$ точку пересечения внешних углов $B$ и $C$ обозначим $I_a$. Аналогично определим точки $I_b$ и $I_c$. Тогда описанная окружность $\triangle ABC$ будет являться окружностью Эйлера $\triangle I_{a}I_{b}I_{c}$ , а вершины $A$, $B$, $C$ будут основаниями высот полученного треугольника.(доказательство этого факта несложное. если кому-нибудь станет непонятно, попросите ,я напишу.)
Осталось заметить, что $L$ и $K$ лежат на этой окружности (являются двумя из девяти точек этой замечательной окружности. ) ,откуда отрезок $KL$ является средней линией $\triangle AI_{a}I_{b}$, т.е. параллелен биссектрисе угла $A$ треугольника $ABC$.
Что и требовалось доказать.
Расписал многовато, кажется, но суть уловить несложно

[Tanechka]

iknow, вам не кажется, что с решением вы перемудрили?
Просто я не думаю, что рядовой школьник так будет решать...

[iknow]

Tanechka,
хммм...возможно такое...
хотя я и есть школьник
в принципе, да... насчет второй задачи согласен. там не совсем просто,я думаю, додуматься до этого факта.
а насчет первой, не совсем согласен

P.S. и согласитесь ли Вы, что этот факт во 2 задаче весьма-весьма красивый?

[Tanechka]

iknow, а я про вторую и говорю... а додуматься до углов... извините батенька, но так делает каждый среднестатистический олимпиадник (хотя бы районного уровня), если видит углы: рисует рисунок, обозначает некоторые углы за альфа, за бета, выражает через них все углы, да что-то и получает)...

[iknow]

Tanechka, насчет углов согласен я же не говорю, что Ваше решение неверно, а мое - самое лучшее...
просто можно задачу для разнообразия так решить...

[Tanechka]

(Оффтоп)

Ещё есть задачи?

[iknow]

Могу посмотреть. Опять же геометрия?