Задача для демонстрации полезности комплексных чисел

[nnosipov]

Возможно, комплексные экспоненты. Но интегралы обычные, двумерные.

Хотя достаточно проинтегрировать по данному прямоугольнику произведение $\cos{2\pi x}\cos{2\pi y}$. Этот интеграл равен сумме интегралов по прямоугольникам разбиения, а каждый из последних равен нулю (так как все прямоугольники разбиения являются полуцелыми). Значит, этот интеграл тоже ноль, но тогда мы интегрировали по полуцелому прямоугольнику.

[Профессор Снэйп]

nnosipov в сообщении #582256 писал(а):

Возможно, комплексные экспоненты. Но интегралы обычные, двумерные.

Распишите, пожалуйста, подробнее, если не трудно.

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #582144 писал(а):

А это что вообще такое? Мне математического смысла этого термина никогда в жизни не попадалось.

Ну в математике это такой жаргон: резонансом принято называть случай, когда корень характеристического уравнения в точности совпадает с соответствующей комплексной характеристикой стандартной правой части (т.е. склеенной из коэффициентов под экспонентами и синусами-косинусами той правой части). С "физическим" резонансом это совпадает только тогда, когда вынуждающее колебание чисто гармонично и при этом в системе самой по себе затухания нет. В остальных случаях -- это лишь аналогия, оправданная тем, что в обоих случаях на решение накладывается линейно (с определёнными оговорками) возрастающий множитель.

Munin в сообщении #582144 писал(а):

Ни черта. И тут лажанул. Если $k-\tfrac{\chi^2}{4}>0,$ это ещё не значит, что $k-\tfrac{\chi^2}{2}>0.$

Нет, это (по существу, а не формально) не есть лажа. О резонансе (в физическом понимании) имеет смысл говорить лишь тогда, когда характерное время затухания существенно меньше периода колебаний. А тогда, в общем-то, какая разница, какую частоту официально обозвать резонансной.

[Munin]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #582411 писал(а):

Ну в математике это такой жаргон

А. Не был знаком.

ewert в сообщении #582411 писал(а):

Нет, это (по существу, а не формально) не есть лажа.

Ну формально-то максимум пропадает, а что называть резонансом, как не его?

[Профессор Снэйп]

nnosipov в сообщении #582256 писал(а):

Хотя достаточно проинтегрировать по данному прямоугольнику произведение $\cos 2\pi x \cos 2 \pi y$. Этот интеграл равен сумме интегралов по прямоугольникам разбиения, а каждый из последних равен нулю (так как все прямоугольники разбиения являются полуцелыми). Значит, этот интеграл тоже ноль, но тогда мы интегрировали по полуцелому прямоугольнику.

Стоп, я что-то не понимаю. У Вас интегралы по контуру какого рода: первого или второго? Если второго, то интеграл по любому прямоугольнику всегда $0$, независимо от целости сторон. А если первого, то тогда интеграл не будет равен сумме интегралов по мелким прямоугольникам.

-- Сб июн 09, 2012 10:12:11 --

Или я опять запутался... Сейчас посчитаю точнее.

Пусть есть прямоугольник с вершинами $(a_0, b_0), (a_1, b_0), (a_1, b_1), (a_0, b_1)$. При этом $a_0 < a_1$ и $b_0 < b_1$. Считаем интеграл второго рода от $\cos 2\pi x \cos 2 \pi y$ по контуру прямоугольника, направление обхода - против часовой стрелки. Получаем

$$ \begin{array}{lr} \oint_{\Gamma} \cos 2\pi x \cos 2 \pi y \, d\gamma = & \cos 2 \pi b_0 (\sin 2 \pi a_1 - \sin 2\pi a_0) + \cos 2 \pi a_1 (\sin 2 \pi b_1 - \sin 2\pi b_0) + \\ &+ \cos 2 \pi b_1 (\sin 2 \pi a_0 - \sin 2\pi a_1) + \cos 2 \pi a_0 (\sin 2 \pi b_0 - \sin 2\pi b_1) \end{array} $$

(Оффтоп)

Безобразие, окружение eqnarray не работает, в окружении array почему-то не отображается значок интеграла!

Теперь приводим подобные и получаем, что интеграл равен

$$ (\cos 2\pi b_0 - \cos 2 \pi b_1)(\sin 2\pi a_1 - \sin 2\pi a_0) + (\cos 2 \pi a_1 - \cos 2\pi a_0)(\sin 2 \pi b_1 - \sin 2\pi b_0) $$

Если хотя бы одно из чисел $a_1 - a_0$, $b_1 - b_0$ целое, то в каждом слагаемом один из множителей нулевой и интеграл равен нулю. А если нет, то каждое слагаемое не нулевое. Осталось понять, почему они не могут сократиться...

[nnosipov]

Профессор Снэйп в сообщении #582488 писал(а):

У Вас интегралы по контуру какого рода: первого или второго?

Нет, все интегралы кратные (двумерные), не по границе прямоугольника, а по самому прямоугольнику.

[Профессор Снэйп]

nnosipov в сообщении #582494 писал(а):

не по границе прямоугольника, а по самому прямоугольнику.

Понятно!

-- Сб июн 09, 2012 10:48:08 --

Хотя я помню, что когда-то нашёл решение, в котором шло интегрирование по контуру некоторой комплекснозначной величины. Увы, забыл какой

-- Сб июн 09, 2012 10:57:07 --

Хотя есть же теорема Стокса, позволяющая интегрирование по области заменить на интегрирование по границе области! А я её уже не помню Щас полезу искать.

[Профессор Снэйп]

Профессор Снэйп в сообщении #582488 писал(а):

А если нет, то каждое слагаемое не нулевое.

Кстати, я был не прав. Контрпример: $a_0 = b_0 = -1/3$, $a_1 = b_1 = 1/3$, ни одна разность не целая, оба слагаемых нулевые!

-- Сб июн 09, 2012 19:38:35 --

И похоже, что предложенное решение (с интегрированием по внутренности прямоугольника) проваливается! Рассмотрим прямоугольник с вершинами в точках $(0,0), (1/2,0), (1/2, 1/2), (0,1/2)$. Этот прямоугольник нифига не полуцелый, а

$$ \iint_G \cos 2\pi x \cos 2\pi y \, dxdy = 0, $$

где $G$ -внутренность прямоугольника. Незадача

[venco]

Профессор Снэйп в сообщении #582646 писал(а):

Незадача

Дык, возьмите синус.

[nnosipov]

Похоже, надо брать и косинус, и синус, т.е. $e^{2\pi i(x+y)}$.

[venco]

Синуса достаточно. И даже меандра $sign(\sin 2\pi x)$.

[rockclimber]

Как все сложно!
Первым же ответом через 19 минут после сообщения автора был дан самый лучший пример, не знаю, почему его не стали рассматривать... Я помню, в институтском курсе электротехники (который я прочно и основательно забыл) нам давали практические задачи электротехники (практичнее и нагляднее некуда уже), которые решались через комплексные числа настолько просто и элегантно, что я до сих пор помню свое восхищение.

[Профессор Снэйп]

venco в сообщении #582720 писал(а):

Синуса достаточно.

Что-то у Вас фунция от $y$ не зависит. Как-то это неправильно...

[nnosipov]

Профессор Снэйп в сообщении #582888 писал(а):

Что-то у Вас фунция от $y$ не зависит. Как-то это неправильно...

Нужно рассмотреть $\sin{2\pi x}\sin{2\pi y}$. Несколько неожиданно синус оказался лучше косинуса.

[Профессор Снэйп]

nnosipov в сообщении #582908 писал(а):

Нужно рассмотреть $\sin{2\pi x}\sin{2\pi y}$. Несколько неожиданно синус оказался лучше косинуса.

Да чем он лучше-то?! Сдвиньте прямоуголик, показывающий несостоятельность функции с косинусами, вправо на $1/4$, а затем вверх на $1/4$. Получите "плохой" прямоугольник для синусов.